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极值点偏移问题（6）泰勒展开（本质回归） 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景以极小值点的偏移为例进行说明，如下左图为极小值点左偏，右图为极小值点右偏极值点发生偏移，直观表现为函数图象在极值点左右两侧（包含极值点的一个邻域）的增减速度不同如上左图，导函数（曲线上一动点处切线的斜率）一直在增加，但增加得越来越慢；如上右图，导函数也一直在增加，但增加得越来越快一阶导数增加的速度（快慢）用什么来表示（刻画、衡量）？用二阶导数的大小来表示（类似于加速运动中速度增加的快慢由加速度的大小来决定样）左图中，增加即单调递增，得；增加得越来越慢，则的绝对值越来越小，又，故单调递减右图中，增加即单调递增，得；增加得越来越快，则的绝对值越来越大，又，故单调递增二阶导数的单调性用什么来表示？当然是三阶导数的正负！左图中，；右图中，于是，极小值点的偏移方向（左偏还是右偏）可用三阶导函数的正负（符号）来判定若，则极小值点左偏；若，则极小值点右偏同样的分析，可以知道极大值点的偏移方向也可用三阶导数的正负来判定，结论是：若，则极大值点右偏；若，则极大值点左偏过程交给读者，提醒：分析时应注意以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归为了讨论问题的方便，不妨假设区间上的可导函数满足，且在区间内只有一个极小值点，即当时，有；当时，有于是，判断极值点左偏还是右偏，即比较与的大小关系，这可通过的正负得到记，将和分别在处泰勒展开得，其中，注意到，且，以上两式相减得，即所以，若当时，恒有，则，得，即极小值点左偏；若当时，恒有，同理可得，有，即极小值点右偏极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述至此，我们得到极值点偏移问题的如下判定定理：极小值点左偏（极大值点右偏）；极小值点右偏（极大值点左偏）注1：从推导过程不难发现，这只是一个充分性判定定理（而非必要），使用时应注意；注2：此定理直接用来判定极值点的偏移方向，即得到与的大小关系，对于，的其它不等式的证明或将无能为力下面就用这个判定定理再解前面举过的例题再解例1：，；若，则；若，则，极大值点左偏，有再解例2：，；若，由知，可设，则；若，则，极小值点右偏，有再解例4：（2），则极小值点右偏，有；（3），则极小值点左偏，有再解例6
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