二、导数的应用3.7函数的极值.ppt

函数的极值 1 了解函数在某点取得极值的条件 掌握极值的定义 2 掌握求函数极值的步骤和极值的判定 3 会用导数求多项式函数的极大值 极小值 学习目标 问题1 观察图像 函数y f x 在点x1 x2 x3 x4处的函数值f x1 f x2 f x3 f x4 与它们左右近旁各点处的函数值 相比有什么特点 一 函数的极值定义 一般的 设函数f x 在点x0附近有定义 若对x0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 若对x0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 使函数取得极值的点x0称为极值点 在定义中 极值点是自变量的值 极值是对应的函数值 注意 1 函数的极大值与极小值统称为极值 3 注意 邻近点 的含义 区分极值与最值 4 在定义域内 函数可能有多个极大值或极小值 但极大值不一定比极小值大 5 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 问题2 观察与思考 极值与导数有何关系 由上图可以看出在函数取得极值处 如果曲线有切线的话 则切线是水平的 从而有 假设x0使 那么在什么情况下x0是f x 的极值点呢 f x 0 x1 在极大值点附近 在极小值点附近 f x 0 f x 0 f x 0 x2 二 函数极值的判断方法 若x0是f x 的极大值点 则x0两侧附近点的函数值必须小于f x0 因此 x0的左侧附近f x 只能是增函数 即 x0的右侧附近f x 只能是减函数 即 若x0是f x 极小值点 则在x0的左侧附近f x 只能是减函数 即 在x0的右侧附近只能是增函数 即 从而我们得出结论 若x0满足 且在x0的两侧的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 并且如果在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的极大值点 f x0 是极大值 如果在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 一般地 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 要注意以下两点 1 不可导函数也可能有极值点 例如函数y x 它在点x 0处不可导 但x 0是函数的极小值点 故函数f x 在极值点处不一定存在导数 2 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是在这点两侧的导数异号 因此 利用求导的方法 求函数的极值时 在函数的定义域内寻求可能取到极值的 可疑点 除了确定其导数为零的点外 还必须确定函数定义域内所有不可导的点 这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的 可疑点 例1 求的极值 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且y极大值 28 3 而当x 2时有极小值 并且y极小值 4 3 总结 求可导函数f x 的极值的步骤如下 2 求导数 3 求方程的根 检查在方程根左右的符号 1 确定函数的定义域 4 把定义域划分为部分区间 并列成表格 1 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 2 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 故当x a时 f x 有极大值f a 2a 当x a时 f x 有极小值f a 2a 例2 求函数的极值 解 函数的定义域为 令 解得x1 a x2 a a 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 例3 已知f x ax5 bx3 c在x 1处有极值 且极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 解 由题意 应有根 故5a 3b 于是 1 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 2 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 课堂练习 1 求函数的极值 解 令 0 解得x1 1 x2 1 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 1时有极小值 并且y极小值 3 而当x 1时有极大值 并且y极大值 3 2 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 课堂小结 2 可导函数的极值与导数的关系 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言 在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值 且极大值不一定比极小值大 点是极值点的充分不必要条件是这点两侧的导数异号 点是极值点的必要不充分条