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平面向量的分解定理 上海市七宝中学申志莲 实例 一盏电灯 可以由电线co吊在天花板上 也可以由电线oa和绳bo拉住 co所受的力f应与电灯重力平衡 拉力f可以分解为ao与bo所受的拉力f1和f2 思考 从这个实例中我们看到了什么 答 一个向量可以分成两个不同方向的向量 思考 从这个实例中我们看到了什么 1 数学实验1 实验步骤 a 以四位同学为一组 给每一位同学一个图 上面有两个不平行向量和 b 每个同学先独立作图 c 小组对照 比较所分解的两向量的长度和方向是否相同 并得出结论 实验报告 可以分解 且分解的长度和方向唯一的 思考 既然可以分解并且是唯一的 能不能用数学式子把和的关系表示出来 思考 对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量 那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢 下面让我们来做一个实验 2 数学实验2 实验步骤 a 利用几何画板画出两个不平行向量 画出一个任意向量 该向量可以任意拖动终点来改变 b 自己拖动从中体会其向量的任意性 实验报告 可以分解 且分解的长度和方向唯一的 思考 我们对以上两个实验加以概括 可以得出怎样的结论 结论 平面内的任一非零向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合 即 且分解是唯一的 4 证明唯一性 证明 1 当时 2 当时 假设 则有由于不平行 故 即 平面向量分解定理 如果是平面内的两个不平行向量 那么对于这一平面内的任意向量 有且只有一对实数 使 我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基 例题分析 例1 已知向量 求作向量 例2 如图 平行四边形abcd的两条对角线相交于点m 且 分别用表示 a b c d 思考题 例3 如图 已知是不平行的两个向量 是实数 且 用表示 课
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