二、导数的应用3.8函数的极值与最值.ppt

函数的极值与最值 1 进一步掌握求函数极值的方法和步骤 2 理解函数的极值和最值的区别和联系 3 掌握求函数在闭区间上最值的求法 学习目标 复习回顾 1 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极小值 2 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 3 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值 新课讲授 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与f a f b 作比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则一定是极大值 或极小值 4 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则在确定函数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 5 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值进行比较 例1 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 例2 函数y x 3x 9x在 4 4 上的最大值为 最小值为 解 由f x 3x 6x 9 0 又区间 4 4 端点处的函数值为f 4 20 f 4 76 得x1 3 x2 1 相应的函数值为f 3 27 f 1 5 当x变化时 y y的变化情况如下表 可知函数在 4 4 上的最大值为f 4 76 最小值为f 1 5 例3 设 函数的最大值为1 最小值为 求常数a b 解 令 得x 0或a 当x变化时 f x 的变化情况如下表 由表知 当x 0时 f x 取得极大值b 而f 0 f a f 0 f 1 f 1 f 1 故需比较f 1 与f 0 的大小 又f 1 f a a 1 2 a 2 2 0 所以f x 的最小值为f 1 1 3a 2 b 3a 2 f 0 f 1 3a 2 1 0 故b 1 f x 的最大值为f 0 b 思考题 04浙江文21 本题满分12分 已知a为实数 求导数 若 求在 2 2 上的最大值和最小值 若在 2 和 2 上都是递增的 求a的取值范围 2 a 2 课堂小结 1 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分极值与最值这两个概念 2 在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x