二、导数的应用3.6函数的单调性.pptVIP

导数的应用函数的单调性 1 会从几何角度直观了解函数单调性与其导数的关系 并会灵活应用 2 通过对函数单调性的研究 加深对函数导数的理解 提高用导数解决实际问题的能力 增强数形结合的思维意识 学习目标 函数y f x 在给定区间g上 当x1 x2 g且x1 x2时 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在g上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在g上是减函数 若f x 在g上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在g上具有严格的单调性 g称为单调区间 g a b 问题1 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 函数的单调性是对某个区间而言的 它是个局部概念 这个区间是定义域的子集 3 单调区间 针对自变量x而言的 若函数在此区间上是增函数 则为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数 则为单调递减区间 问题2 用定义证明函数y x2 4x 3的单调性 解 取x1f x2 所以y f x 在区间 2 单调递减 当20 f x1 f x2 所以y f x 在区间 2 单调递增 综上y f x 单调递增区间为 2 y f x 单调递减区间为 2 单增区间 1 和 1 单减区间 1 0 和 0 1 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 如 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过单调函数的图象来考察一下 单调性的判别法 从几何图形上看 表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时 曲线总是上升 下降 的 启示 能否利用导数的符号来判定单调性 进一步 若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正 负 即切线的倾角全为锐 钝 角 曲线就是上升 下降 的 2 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 f x 0 f x 0 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 如果在某个区间内恒有 则为常数 1 求函数的定义域 2 求函数的导 函 数 函数的定义域是 3 令以及 求自变量的取值范围 即函数的单调区间 令2x 4 0 解得x 2 即时 是减函数 令2x 4 0 解得x 2 即时 是增函数 例1 确定函数 在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 例2 讨论f x x3 6x2 9x 3的单调性 解 f x 3x2 12x 9 令3x2 12x 9 0 解得x 3或x 1 因此 当或时 f x 是增函数 令3x2 12x 9 0 解得1 x 3 因此 当时 f x 是减函数 故f x 在 1 和 3 内是增函数 在 1 3 内是减函数 根据导数确定函数的单调性一般需三步 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单调增区间 解不等式f x 0 得函数单调减区间 总结 例3 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 若a 0 则 易知此时f x 恰有三个单调区间 单调递减区间 和 例4 当x 1时 证明不等式 证 设显然f x 在 1 上连续 且f 1 0 显然 当x 1时 故f x 是 1 上的增函数 所以当x 1时 f x f 1 0 即当x 1时 说明 利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种重要方法 其解题步骤是 令f x f x g x x a 其中f a f a g a 0 从而将要证明的不等式 当x a时 f x g x 转化为证明 当x a时 f x f a 证 例5 类1 求函数的值域 解 函数的定义域是 2 又易得 当x 2时 即已知函数在 2 上是增函数 又f 2 1 故所求函数的值域是 1 单调性法求最值 类2 证明方程只有一个根x 0 证 设则 0恒成立 故f x 是r上的增函数 而f 0 0 故原方程有唯一根x 0 应用导数信息确定函数大致图象 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 a b c d c b 课堂小结 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 3 注意在某一区间内 0只是函数f x 在该区间上为增 减 函数的充分不必要条件 4 利用求导的方法可以证明不等式 首先要根据题意构造函数 再判断所设函数的单调性 利用单调性的定义 证明要证的不等式 当函数的单调区间与函数的定义域相同时 我们也可用求导的方法求函数的值域 2 函数导数与单调性的关系