模型参考自适应控制系统说明.doc

第四章模型参考自适应控制系统4.1 Lyapunov稳定型概念及基本定理在研究线性系统时，由系统特征方程的根可以判定系统的稳定性：特征根实部负 则系统为渐近稳定正 则系统为不稳定0 简单极点 系统为稳定边界多重极点 系统不稳定但对于非线性系统，难于求出特征根，微分方程难于求解，不能用特征根来判断系统稳定性。模型参考自适应控制系统是非线性系统，不能用研究线性系统稳定性方法来研究其稳定性。用Lyapunov直接法不需要解微分方程就可以判断其稳定性。1. Lyapunov稳定性定义1） 平衡点设被控系统由向量微分方程描述Xt=fXt, t，Xt0=X0(4.1-1)在初始条件（）下它的解为：式中 X=x1, x2, xnn1T 状态向量fX, t=f1X, t,f2X, t,fnX, tn1T向量函数若状态空间中某一点（某一状态）Xe对所有时刻均满足fXe, t=0则称Xe为系统的一个平衡点。只要无外力作用ut=0，则系统永远处于该平衡状态。对于线性系统Xt=AX(t)，若A为非奇异矩阵，则系统只有一个平衡点Xt=0对于非线性系统，可能存在一个或多个平衡点。通常假定平衡点为原点Xe=02） 稳定性定义定义4.1-1（稳定性）如果对于给定时刻t0，只要X0-Xe，就总有Xt -Xe0，使得只要Xt0-Xe0，总找不到一个实数(e,t0)0，使Xt0-Xe(,t0)时，有Xt-Xe0 X0=0 X=0V(X)0则称V(X)为Lyapunov函数说明：i. Lyapunov函数是正定的若 VX= 0 X0=0 X=0 称为半正定的若 VX= 0 X0=0 X=0 称为半负定的若 VX= 0 X0=0 X=0 称为负定的ii. 二次型函数VX=XTPX是一类重要的Lyapunov函数，它是系统能量的度量。在平衡点时Xe=0能量为0，离开平衡点则系统具有一定的能量（位能，动能等等）。在平衡点附近（Xe=X=0的邻域）VX0, P11P12P13P140, detP0 则V(X)是正定的。若P是奇异矩阵，且它的所有顺序主子式非负，则V(X)是半正定的。2) 连续时间系统的Lyapunov定理对于系统Xt=f(Xt, t)有平衡点Xe=0即f0, t=0 t，若存在一个函数V(X)，它具有下列性质V(X)和梯度VX=VXx1,VXx2,VXxnT连续（t的连续函数）；V(X)正定；VX=VXTfX=dV(X)dt=VXXTdXdt=VXTf(X)为负定； LimXVX=；则这个平衡点为全局渐近稳定的。说明：i. 满足条件，则这个平衡点是小范围渐进稳定的；ii. 若条件改为V(X)半负定，则这个稳定点是稳定的，但不是渐进稳定的3) 求取合适的Lyapunov函数对于线性定常系统Xt=AX(t)它的平衡状态Xe=0，渐近稳定的充要条件是对于任意给定的对称正定矩阵Q，存在一个对称正定矩阵P，它是矩阵方程ATP+PA=-Q的唯一解。并且VX=XTPX就是系统的Lyapunov函数证：取VX=XTPX，P0V(X)是正定函数VX=ddtXTPX=XTPX+XTPX=XTATPX+XTPAX =XTATP+PAX=-XTQX由于Q是正定的，V(X)是负定的， 可见Xe=0是渐进稳定的P=0eATtQeAtdt举例：已知系统的运动方程为x+ax+2bx+4x3=0其中a, b0判断平衡点x1=0, x1=0是否为稳定平衡点解：将微分方程改写成状态方程形式：x1=x2x2=-2bx1-4x13-ax2令X=x1x2则X=x1x2=01-2b-4x12-ax1x2选择V(X)为VX=x222+bx12+x14 0 x10, x20=0 x1=0, x2=0VX=x2x2+2bx1x1+4x13x1=x2-2bx1-4x13-ax2+2bx1x2+4x13x2 =-2bx1x2-4x13x2-ax22+2bx1x2+4x13x2=-ax22由此可见，对于任意X=x1x20，VX0，当x10，x2=0时VX=0，而当x20时VX0(4.3-2)对V求导数得到V=ee+k1kk=-1Te2+1Tkre+k1kk(4.3-3)为保证V0，可令上式右边两项之和为0，得到k=-1k1Tre(4.3-4)而k=ddtkm-kse, tkv=-kve, tks，得到自适应律为：kve, t=1k1ksTrtet=kgrke(t)(4.3-5)或 kve, t=0tkgred+ks(0) (4.3-6)2. n阶系统可调增益自适应律的设计1) 具有可调增益的MRAC开环系统框图开环系统框图如图4.3-2所示。图中kv是对象的增益，它受到运行环境影响或时变。kmN(s)D(s)kvksN(s)D(s)e(t)r(t)ym(t)ys t+-干扰图4.3-2 具有可调增益MRAC系统开环框图当增益失配时，产生广义输出误差et=ymt-ys(t)误差系统的传递函数为Gs=E(s)R(s)=km-kskvNsDs=kN(s)D(s)(4.3-7)式中 N(s)D(s)=bn-1sn-1+bn-2sn-2+b0sn+an-1sn-1+a0(4.3-8)kt=km-kve, tks(t)(4.3-9)2) 误差方程广义误差方程为en+an-1en-1+a0e=krn-1+bn-2rn-2+b0r(4.3-10)将上式化为能观测规范性向量微分方程表达式Ee=AE+kCre1=hTE(4.3-11)其中h=1,0 ,0T3) 构造Lyapunov函数设二次型函数 V=ETPE+k2(4.3-12)式中 P正定矩阵 正实数4) 求自适应律对V求导数得到：V=ETPA+ATPE+2ETP(rk+2kk)(4.3-13)只要模型使得传递函数的分母多项式 的0点(特征根)都具有负实部，则总可以找到矩阵P满足PA+ATP=-Q (Q为正定矩阵)，使得(4.3-10)第一项小于零。选取第二、三两项之和为零，得到自适应律为：k=-1ETPCr或kv=1ksETPCr (4.3-14)这样保证V0此时自适应律变为kvt=1kse1r=er(4.3-15)式中=1ks按照(4.3-15)式给出的MRAC系统框图，如图4.3-3所示。 kvt=0trtetdt+kv(0)kmN(s)D(s)kskvN(s)D(s)/sr(t)ym(t)ys(t)e(t)图4.3-3 具有可调增益的MRAC系统3. 举例考虑模型为Gms=km(b1s+1)s2+a1s+a0 km0对象为Gss=ks(b1s+1)s2+a1s+a0 ks0求自适应律。解：广义误差方程为e+a1e+a0e= kb1r+r k=km-kvks其相应的能观性规范型状态方程为e=e1e2=ee-b1r，A=01-a0-a1，h=10C=c1c2=10a11-1b11=10-a11b11=b11-a1b1若a00，a10，b11a1则Gm(s)是正实函数则可以求得PPA+ATP=-2a0p12p11-a1p12-a0p22-p11-a1p12-a0p222p12-a1p22=-QPC=p11b1+p121-a1b1p12b1+p221-a1b1=h=0在保证Q和P对称正定的条件下，设Q为对角矩阵，得到：p12b1+p221-a1b1=0 p22=b1, p12=a1b1-1p11-a1p12-a0p22=0 p11=a1a1b1-1+a0b1校核Q的正定性-Q=-2a0p12002(p12-a1p22)=-2a0(a1b1-1)002(a1b1-1-a1b1) =-2a0(a1b1-1)00-2=2a0(a1b1-1)002由2a0a1b1-10和 =p11b1+p121-a1b1=b1a1a1b1-1+a0b1+a1b1-1(1-a1b1) =a12b12-a1b1+a0b12-a12b12+2a1b1-1=a0b12+a1b1-10所以自适应律为kv=1kva0b12+a1b1-1etr(t) 04. 单输入-单输出自适应系统的自适应规律的设计设可调系统包括对象，前馈和反馈调节器，其微分方程的各项系数都可能受干扰而变化。1) 数学模型参考模型的微分方程为：ym(n)+i=0n-1amiymi=rm+j=0m-1bmjrj(4.3-16)Gms=sm+bm(m-1)sm-1+bm1s+bm0sn+amn-1sn-1+am1s+am0(4.3-1)可调系统的微分方程为：ysn+i=0n-1aiysi=rm+j=0m-1bjrj-1 (4.3-18)Gss=sm+b(m-1)sm-1+b1s+b0sn+an-1sn-1+a1s+a0(4.3-19)其中ymt, ys(t)参考模型和对象的输出，r输入2) 广义误差方程设广义误差为 e=ym-ys将(4.4-16)-(4.4-18)得到误差方程en+i=0n-1amiei=i=0n-1aiysi+j=0m-1bjrj(4.4-20)其中ai=ai-ami bj=bmj-bj将(4.4-20)化为状态方程令 =a0, a1, , an-1; b0, b1, , bm-1n+m1 (参数误差向量)误差状态向量E=e1, e2, , enT其中e1=e, e2=e, , en=en-1误差状态方程为E=AE+a+b(4.4-21)其中a=0, 0, , 0, i=0n-1aiys(i)n1 b=0, 0, , 0, j=0m-1bjrjn1T3) 构造Lyapunov函数设二次型标量函数V=12ETPE+T(4.3-22)式中P n维对称正定矩阵diag0, 1, , n-1; 0, 1, , m-14) 求自适应律求V对t的导数，得到V=12ETPE+ETPE+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12AE+a+bTPE+ETPAE+a+b+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12ETATP+PAE+12aTPE+bTPE+ETPa+ETPn+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12ETATP+PAE+ETPa+ETPb+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj(4.3-23)( daTPE=ETPa, bTPE=ETPb)ETP=k=1nekpk1, k=1nekpk2, , k=1nekpkn ETPa=(k=1nekpkn)i=0n-1aiysi=i=0n-1aik=1nekpknysi同理：ETPb=j=0m-1bj(k=1nekpkn)rj代入上式，得到： V=12ETATP+PAE+i=0n-1aiiai+k=1nekpknYsi +j=0m-1bjjbj+k=1nekpkn)rj (4.3-24)只要PA+ATP=-Q(Q为正定矩阵成立)使(4.3-24)式后两项分别为0，得到自适应律如下： ai=-1ik=1nekpknysibj=-1jk=1nekpknrj(4.3-25)或者 ai=-1ik=1nekpknysibj=1jk=1n(ekpknrj (4.3-26)可以保证 ，在上述自适应律控制下MRAC系统是全局渐进稳定的。举例：设二阶系统 ys+b1ys+b0ys=ksr，参数b1, b0, ks未知或慢时变，参考模型微分方程为ym+am1ym+am0ym=kmr，传递函数：Gms=kms2+am1s+am0，求自适应律。构成如图所示的可调系统，则可调系统的微分方程为： ys+a1ys+a0ys=kvksr，传递函数：Gss=kvkss2+a1s+a0其中a1=b1+f1ks，a0=b0+f0ks，kvkss2+b1s+b0kms2+am1s+am0f1s+f0自适应机构rymyse(t)+-+-图 二阶MRAC单位框图解：求广义误差方程e+am1e+am0e=a1ys+a0ys+kr式中a1=a1-am1a0=a0-am0k=km-kskv写成状态方程形式E=AE+a+b写成状态方程形式式中A=01-am0-am1 a=0i=01aiysi b=0kr设参数误差向量和广义误差向量分别为=a0a1k E=e1e2T e1=e e2=e取Lyapunov函数为V=12ETPE+T式中P=PT0，=d