数学人教版八年级下册平行四边形单元复习.docx

平等四边形单元复习1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.【重点】理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.【难点】平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.专题一平行四边形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.(2015绵阳模拟)已知ABC中,AB=AC,D为ABC所在平面内的一点,过D作DEAB,DFAC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由;(2)当点D在直线BC上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);(3)如图(2),当点D是ABC内一点时,过D作DEAB,DFAC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).解析(1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出FDB=B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:当点D在CB延长线上时,如图,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF,再证明FDB=FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF-BF=DE-DF;当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;当点D在BC的延长线上时,如图,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明CDE=DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE-CE=DF-DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明EGC=C,由等角对等边得到EG=DE+DG=CE,从而可得AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF.解:(1)DE+DF=AB.理由如下:DEAB,DFAC,四边形AEDF是平行四边形,DE=AF.DFAC,FDB=C,AB=AC,C=B,FDB=B,DF=FB,DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:当点D在CB延长线上时,如图,AB=DE-DF;当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;当点D在BC的延长线上时,如图,AB=DF-DE.(3)AB=DE+DG+DF.解题策略本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.【针对训练1】ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CFDE交AB于点F.(1)若点D是BC边的中点(如图),求证EF=CD.(2)在(1)的条件下直接写出AEF和ABC的面积比.(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.解析(1)根据ABC和AED是等边三角形,D是BC的中点,EDCF,可证明ABDCAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出AEF和ABC的面积比.(3)根据EDFC及题意得出ACF=BAD,从而可证明ABDCAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.证明:(1)ABC是等边三角形,D是BC的中点,ADBC,且DAB=BAC=30,AED是等边三角形,AD=AE=ED,ADE=60,EDB=90-ADE=90-60=30,EDCF,FCB=EDB=30,ACB=60,ACF=BAD=30,又B=FAC=60,AB=CA,ABDCAF,AD=CF,AD=ED,ED=CF,又EDCF,四边形EDCF是平行四边形,EF=CD.解:(2)AEF和ABC的面积比为14.(3)成立.证明如下:EDFC,EDB=FCB,AFC=B+FCB=60+FCB,BDA=ADE+BDE=60+BDE,AFC=BDA.又B=FAC=60,AB=CA,ABDCAF,AD=FC,AD=ED,ED=CF,又EDCF,四边形EDCF是平行四边形,EF=DC.专题二矩形的判定、性质及其应用【专题分析】 在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证四边形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DGAC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面积.解析(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.证明:(1)四边形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD,AE=BF=CG=DH,AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,四边形EFGH是矩形.解:(2)G是OC的中点,GO=GC.DGAC,DGO=DGC=90.又DG=DG,DGCDGO,CD=OD.F是BO中点,OF=2 cm,BO=4 cm.四边形ABCD是矩形,DO=BO=4 cm,DC=4 cm,DB=8 cm,CB=4(cm)矩形ABCD的面积=44=16(cm2).解题策略本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.【针对训练2】如图,在四边形ABCD中,A=BCD=90,BC=CD,CEAD,垂足为E.求证AE=CE.解析作BFCE于F,证明RtBCFRtCDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE.证明:作BFCE于F,BCF+DCE=90,D+DCE=90,BCF=D,又BC=CD,BFC=CED=90,RtBCFRtCDE,BF=CE,又BFE=AEF=A=90,四边形ABFE是矩形,BF=AE,AE=CE.规律方法在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.专题三菱形的判定、性质及其应用【专题分析】考查菱形的判定、性质的题目,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证BAC=DAC,AFD=CFE;(2)若ABCD,求证四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使EFD=BCD,并说明理由.解析(1)利用已知条件和公共边,证得ABCADC,即可证明BAC=DAC;再证明ABFADF,得到AFB=AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知DAC=ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,即可证明结论;(3)当BECD时,由(2)可知BC=CD,BCF=DCF,利用BCFDCF,证得CBF=CDF,再利用等角的余角相等即可证明EFD=BCD.证明:(1)AB=AD,CB=CD,AC=AC,ABCADC.BAC=DAC, AB=AD,BAF=DAF,AF=AF,ABFADF.AFB=AFD,又CFE=AFB,AFD=CFE.(2)ABCD,BAC=ACD.又BAC=DAC,DAC=ACD.AD=CD. AB=AD,CB=CD,AB=CB=CD=AD.四边形ABCD是菱形.解:(3)当BECD时,EFD=BCD.理由如下:四边形ABCD为菱形,BC=CD,BCF=DCF.又CF为公共边,BCFDCF,CBF=CDF.BECD,BEC=DEF=90,从而可知EFD=BCD.规律方法(1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.【针对训练3】如图所示,DE是ABCD中ADC的平分线,EFAD,交DC于F.(1)求证四边形AEFD是菱形;(2)如果BAD=60,AD=5,求菱形AEFD的面积.解析(1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得AED=1,根据等角对等边得AD=AE,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形.(2)由已知求得两条对角线的长,根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半,求得菱形的面积.证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,DFAE,EFAD,四边形DAEF是平行四边形,DE是ADC的平分线,1=2,DFAE,2=AED,AED=1.AD=AE.四边形AEFD是菱形.解:(2)BAD=60,AED为等边三角形.DE=AD=AE=5,连接AF,与DE相交于O,则EO=,OA=,AF=5.S菱形AEFD=DEAF=55=.解题策略此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算,使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.专题四正方形的判定、性质及其应用【专题分析】涉及正方形的题目,一般综合性较强,可以与矩形、菱形结合起来,也可以与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形和三角形全等的知识结合起来考查,还可以与坐标系等知识结合起来考查,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.(2014自贡中考)如图,四边形ABCD是正方形,BEBF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若ABE=55,求EGC的大小.解析本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明ABECBF.(1)用SAS证明ABECBF.(2)EGC=EBG+BEF,而EBG=90-ABE,BEF是等腰直角三角形,从而可求EGC的度数.证明:(1)四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=90. BEBF, EBF=90,从而可知ABE=CBF. AB=BC,ABE=CBF,BE=BF,ABECBF, AE=CF.解:(2)BE=BF,EBF=90,BEF=45, ABC=90,ABE=55, GBE=35, EGC=EBG+BEG=80.归纳总结证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【针对训练4】(2014北京中考)在正方形 ABCD外侧作直线 AP,点B 关于直线 AP 的对称点为E,连接BE,DE,其中 DE 交直线 AP 于点F.(1)依题意补全图(1);(2)若PAB=20,求ADF的度数;(3)如图(2),若45PAB90,用等式表示线段 AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.解析对于(1),按照要求作出图形即可;对于(2),由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形ABE和ADE,进而使问题获解;对于(3),可以在(2)的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得BFD是直角,最后根据勾股定理求解.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接AE,点E是点B关于直线PA的对称点,PAB=PAE,AE=AB.PAB=20,PAE=20,BAE=40.四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90,AE=AD,EAD=BAE+BAD=130,ADF=AED=(180-EAD)=25.(3)如图,连接AE,BF,BD,设BF与AD的交点为点G.由轴对称知FE=FB,AE=AB,又AF=AF,AEFABF,ABF=AEF.四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90,AE=AD,AEF=ADF,ABF=ADF,AGB=DGF,DFG=BAG=90.在RtABD中,AB2+AD2=BD2,2AB2=BD2.在RtBFD中,BF2+FD2=BD2,EF2+FD2=BD2,EF2+FD2=2AB2.专题五三角形的中位线定理【专题分析】单独考查三角形中位线知识的题目多以选择题和填空题的形式出现,与平行四边形、三角形等知识综合的题目多以解答题的形式出现.(2014南京中考)如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EFAB,交BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平行四边形;(2)当ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?解析(1)由三角形中位线定理,得DEBC.又EFAB,故得结论.(2)四边形DBFE是平行四边形,则只要有一组邻边相等即可,故可选择条件AB=BC.证明:(1)D,E分别是AB,AC的中点,DE是ABC的中位线,DEBC.又EFAB,四边形DBFE是平行四边形.解:(2)本题答案不唯一.当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.理由如下:D是AB的中点,BD=AB.由(1)知DE是ABC的中位线,DE=BC.AB=BC,BD=DE.又四边形DBFE是平行四边形,四边形DBFE是菱形.【针对训练5】如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证BN=DN;(2)求ABC的周长.解析(1)证明ABNADN,即可得出结论.(2)先判定MN是BDC的中位线,从而得出CD的长,由(1)可得AD=AB=10,从而计算周长.证明:(1)在ABN和ADN中,ABNADN(ASA),BN=DN.解:(2)ABNADN,AD=AB=10,又点M是BC中点,BN=DN,MN是BDC的中位线,CD=2MN=6,故ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.解题策略本题考查了三角形的中位线定理,一般出现高与角平分线重合的情况,都可以找到等腰三角形.专题六直角三角形斜边上的中线的性质【专题分析】这个知识点运用较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与其他知识综合考查.(2014锦州中考)如图,在ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接CE,AM.(1)求证EF=AC.(2)若BAC=45,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.解析(1)根据等腰三角形的“三线合一”及CD=CB,点E为BD的中点,可得AEC是直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由点F为AC的中点,可得结论;(2)当BAC=45时,可得AEC为等腰直角三角形,由线段垂直平分线的性质可得AM=CM,再由CD=CB,得AM+DM=BC.证明:(1)CD=CB,E为BD的中点,CEBD,AEC=90.又F为AC的中点,EF=AC.解:(2)BAC=45,A