一、随机变量1.2.2离散型随机变量的方差.ppt

离散型随机变量的方差 1 理解离散型随机变量的方差及标准差的概念及意义 2 会求离散型随机变量的方差及标准差 3 掌握几何分布和二项分布的方差 学习目标 1 离散型随机变量 的期望 e x1p1 x2p2 xnpn 2 满足线性关系的离散型随机变量的期望 e a b ae b 3 服从二项分布的离散型随机变量的期望 e np 即若 b n p 则 4 服从几何分布的随机变量的期望 若p k g k p 则e 1 p 复习提问 在初中代数中曾经介绍过一组数据的方差 设在一组数据x1 x2 xn中 各数据与它们的平均数的差的平方分别是 x1 2 x2 2 xn 2 那么叫做这组数据的方差 方差说明了这组数据的波动情况 一组数据方差越大 说明这组数据波动越大 方差概念的应用 例 已知两组数据 甲 9 910 39 810 110 4109 89 7乙 10 2109 510 310 59 69 810 1分别计算这两组数据的方差 标准差的概念 把方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量 一 离散型随机变量的方差 如果离散型随机变量 所有可能取的值是x1 x2 xn 且取这些值的概率分别是p1 p2 pn 那么 把 叫做随机变量 的均方差 简称为方差 式中e 是随机变量 的期望 d 的算术平方根叫做随机变量 的标准差 记作 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 其中标准差与随机变量本身有相同的单位 二 离散型随机变量的方差的性质 若 a b 则 的分布列为 d ax1 b e a b 2 p1 ax2 b e a b 2 p2 axn b e a b 2 pn ax1 ae 2 p1 ax2 ae 2 p2 axn ae 2 pn a2 x1 e 2 p1 a2 x2 e 2 p2 a2 xn e 2 pn a2d 1 d b 0 2 d a a2d 3 d b d 三 服从二项分布的随机变量的方差 四 服从几何分布的随机变量的方差 例1 已知离散型随机变量 1的概率分布 离散型随机变量 2的概率分布 求这两个随机变量的期望 方差与标准差 解 例2 甲 乙两名射手在同一条件下进行射击 分布列如下 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平 解 e 1 8 0 2 9 0 6 10 0 2 9 d 1 8 9 2 0 2 9 9 2 0 6 10 9 2 0 2 0 4 e 2 8 0 4 9 0 2 10 0 4 9 d 2 8 9 2 0 4 9 9 2 0 2 10 9 2 0 4 0 8 从上可知 e 1 e 2 d 1 d 2 所以 在射击之前 可以预测甲 乙两名射手所得环数的平均值很接近 均在9环左右 但射手甲所得环数比较集中 得9环较多 而射手乙所得环数比较分散 得8环和10环的次数要多些 例3 每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次 现规定一旦命中即停止该轮练习 否则一直试投到4次为止 已知一选手的投篮命中率为0 7 求一轮练习中该选手的实际投篮次数 的分布列 并求出 的期望e 与方差d 保留3位有效数字 解 的取值为1 2 3 4 1 表示第一次即投中 故p 1 0 7 4 表示前三次均未投中 故p 4 1 0 7 3 0 027 3 表示第一 二次未投中 第三次投中故p 3 1 0 7 2 0 7 0 063 2 表示第一次未投中 第二次投中 故p 2 1 0 7 0 7 0 21 所以 的分布列为 e 1 0 7十2 0 21 3 0 063 4 0 027 1 417 d l 1 417 2 0 7 2 1 417 2 0 21 3 1 417 2 0 063 4 1 417 2 0 027 0 531 练习1 若随机变量 的概率分布满足p 1 p p 0 1 p求d e d 2 若随机变量 服从二项分布 且e 6 d 4 则此二项分布是 设二项分布为 b n p 则 1 离散型随机变量的方差d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 xn e 2 pn 2 满足线性关系的离散型随机变量的方差d a b a2 d 3 服从二项分布的随机变量的方差d qe n