重庆市2017届高三数学一轮复习微专题线性规划与基本第7节利用基本不等式求最值习题.docx

第7节 利用基本不等式求最值【基础知识】常见结论：1、 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、【规律技巧】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解注意：形如yx(a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解om【典例讲解】【例1】 解答下列问题：(1)已知a0，b0，且4ab1，求ab的最大值；(2)若正数x，y满足x3y5xy，求3x4y的最小值；(3)已知x，求f(x)4x2的最大值；(4)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，求a的值(2)由x3y5xy，得5(x0，y0)，则3x4y(3x4y)(1312)5，当且仅当，即 x2y时，等号成立，此时由解得【规律方法】(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等【变式探究】 (1)设a0，若关于x的不等式x4在x(0，)上恒成立，则a的最小值为()A4 B2 C16 D1 (2)设0x，则函数y4x(52x)的最大值为_(3)设x1，则函数y的最小值为_【解析】(1)因为x0，a0，所以x2，要使x4在x(0，)上恒成立，则需24，所以a4，从而a的最小值为4，故选A.(2)因为0x，所以52x0，所以y4x(52x)22x(52x)2，当且仅当2x52x，即x时等号成立，故函数y4x(52x)的最大值为.【针对训练】1、设，函数的最小值为（ ） A10 B9 C8 D【答案】B. 2、已知，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A综合点评：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.3、设，则函数的最小值是（ ）A2 B C D3【答案】C4、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）A BC D【答案】B【练习巩固】1.已知，且则的最小值为（ ）A6 B12 C16 D22【答案】B【解析】试题分析：因为，且所以， 当且仅当时，的最小值为12，故选2、已知，且，则的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为，且，所以，选A.3、设实数满足,则当取得最小值时，的最小值为（ ）A. B. - C. D. 【答案】B4已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5 【答案】C5若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.【解析】由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.【答案】C6已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是 ()A3 B4 C5 D6【解析】由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.【答案】B7设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为 ()A2 B. C1 D. 【答案】C8设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为 ()A0 B1 C. D3【答案】B9已