数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队问题.doc

数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队问题摘要 全国大学生建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到广大学子的青睐，如何选择优秀队员及组队以获得最好的竞赛成绩变得至关重要。本文根据竞赛队员的选拔和组队问题的基本要求，制定合理假设并求解。问题一中，模型1.1通过对队员各项指标加以权重，在Excel中用记权型法得到20名队员的综合排名，淘汰掉综合排名最低的8，9两名队员。模型1.2，从理论上按照层次分析法的步骤算出权重，再按模型1.1计算每个队员的综合水平，得出的结果也是淘汰8、9两名队员，充分的验证了模型的合理性。问题二中，建立模型2.1使学校尽可能拿更高的奖项，反复用逐项求优法挑选竞赛水平高的队伍。问题三中，模型3.1通过使每个教练挑选的队员的价值函数达到最大，保证他们之间相差不大，这样才能使教练相对满意。问题四中，模型4.1不踢人，将他们阶梯化，采取强队带弱队的方法。模型4.2踢人，按照模型1.1以比例K淘汰后，将留下相对综合水平较高的队员，再破格录取单项优秀者。关键词:记权型法，权重，层次分析法，逐项求优法，价值函数，破格录取一、问题的重述为了准备全国数学建模竞赛，必须对报名队员进行严格的筛选，如何制定科学合理的选拔组队策略是一个有待研究的课题。现有20名队员，根据其能力选拔18名参加竞赛。选拔队员主要考虑的条件依次为学习成绩，智力水平(反映思维能力、分析问题、解决问题的能力)，动手能力(计算机的使用和其它方面的实际操作能力)，写作能力，协作能力(相互协作能力)，其它特长(如身体素质等)。每个队员的基本条件如下表（满分10分记)：见附录中（表一）。现在要解决的问题是：（1）在20名队员中选择18名优秀队员，参加建模竞赛。（2）给出由18名队员组成6个队的组队方案使各队整体竞赛水平最高，并给出 每队的竞赛水平。（3） 在实际分队过程中教练们采取NBA的选秀模式，将由教练选取自己的队 员，每个教练按事先抽取的次序依次挑选自己的队员，共选3轮，每个教练都想让自己的队员更强一些，搭配更合理些，试给出该情况下的仿真，并计算最优的平均竞赛水平。已知六位主教练的挑选次序为：（横向从左到右为一轮）A B C D E F; F E D C B A;B D F A C E。（4）试讨论报名人数更多一些的时候，比较适宜采用的选拔策略2、 问题分析2.1问题一的分析： 关于队员的选取，要从20名队员中淘汰两人，可采取排名然后去除后两名的方法。我们以队员的综合实力作为评价标准，题中给出6个指标，每个指标的影响大小不同，即权重各不相同。我们有两种思路求解这个问题，一种是人为地给条件指标一组权重，另一种是从理论出发来计算权重再进行加权。 思路I：题中给出6个条件指标的影响程度是逐渐降低的，根据实际经验，我们认为其他特长对建模的影响不大，所以所占的权重就应该更小一些，故作出合理假设，六个权重依次是7、6、5、4、3、1，建立目标函数综合水平，即条件指标数与其权重系数的乘积的总和。 思路II：是运用最基本的层次分析方法，先建立层次结构模型，然后构造对比较矩阵，最后计算层次单排序的权向量和一致性检验。利用MATLAB结合Excel求出每个队员的综合水平排名，选取排名前十八的队员作为参赛队员即可。 2.2问题二的分析： 在对队员进行初步淘汰后，留下的18名队员要组成6个队。如果是为了获得大奖，去冲击国家一二三等奖，那么就要使每个队员都发挥其特长且能够与同等水平的队员组队。假设建模参赛队的每个队员的最高条件指标水平决定了这个参赛队的综合水平，所以我们就要选每个条件指标的最高值的队员组成一个队，那么这个队竞赛水平就是最高的，再重复选出剩下队员中竞赛水平最高的队伍，竞赛水平即为我们的目标函数。用MATLAB编程对队员的各项指标进行塞选，用逐项选优的方法选出最优的组合方式进行组队，同时给出每对的竞赛水平。我们也考虑到为了使更多队伍获奖的情况，用均衡模型法。但是由于获奖标准是不定的，一旦均衡后达不到获奖标准，就不能获奖，风险太大，所以用逐项选优法更为科学。2.3 问题三的分析： 教练采取NBA选秀的模式，依次挑选自己的队员，当然每个教练都想让自己的队员更强一些。三次挑选次序各不相同，先挑选的教练就有更多的选择，且受到每个队员不能被重复挑选的限制。我们的思想是假设每个教练都是客观地选择优秀的队员，将其转换成求价值函数的问题。第一轮选择队员时，要使价值函数最大，也就是选最好的队员，那么自然第一轮排序在前的教练就可以选到竞赛水平高的队员。第二轮和第三轮，教练则是选择能和已选队员互补的队员，以达到使价值函数最大的目的。我们运用MATLAB编程实现以上过程，最后求出每个教练挑选的队员。2.4 问题四的分析： 随着报名人数的增加就会有好的人员进入到选拔的过程中，那么选取的方式就有所不同。我们给出两种方案，将对队员进行进一步的塞选。 思路一：不踢人，将所有参赛队员阶梯化，采取强队带弱队的方法。思路二：踢人，我们按一定比例系数k淘汰掉一部分人，按照模型1.1给出的加权函数求出队员的综合水平，进行淘汰后将留下相对综合水平较高的队员。再将淘汰掉的队员的优秀项与留下的队员对比，达到某一水平的将作为特长生破格录取。3、 模型的假设1、假设问题给出的数据均为可供分析的可靠数据，不存在错误数据。2、假设每个队员的水平只受题中给出六个条件的影响。3、假设题中的六个条件指标的影响程度是逐渐降低的。4、假设选择队员的标准是他们的综合水平，挑剔综合水平最低的两名。5、假设各个队员之间互不影响，且各个队之间相互独立，不互相影响。6、假设选择队伍的过程中，不能让所有队员均在某一方面占有弱项。7、假设教练在选择队伍时，完全客观，不考虑个人因素。8、假设每个队员都能正常发挥如表中的水平，且组队后队伍的竞赛能力是 各队员各项条件指标的最大值。四、符号说明符号意义各个条件指标的权重各个条件指标所占的权重系数各个条件指标数队员的综合水平数随机取三个人k、l、m的第i项条件指标数k、l、m三个人第i项条件指标最大的新条件指标数竞赛水平函数k教练第1、2、3轮挑选的队员o,p,q的第i项条件指标数k教练第2轮挑选的队员p与第1轮挑选的队员o的第i项条件指标数相比中的最大值k教练第3轮挑选的队员q与第1,2轮挑选的队员o，p的第i项条件指标数相比中的最大值k教练第1,2,3轮挑选队员的价值函数5、 模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解5.1.1 模型1.1 通过上述分析的基础上，假设各个条件指标的权重依次是7、6、5、4、3、1，类似求平均学分绩的算法，我们建立以下模型来求各个指标所占的权重以及每个队员的综合水平数。模型1.1如下： 其中表示各个条件指标的权重，表示各个条件指标的权重系数，表示各个队员的条件指标数，表示各个队员的综合水平数。 根据以上建立的模型，程序员用MATLAB编程来计算各个队员的综合水平（见附录8.2.1），再将结果导入Excel中进行排序，得到结果如下表二。表二 队员的综合实力排序表排序队员学习成绩智力水平动手能力写作能力协作能力其它特长综合实力19.99.769.138528.19.378.9577379.29.697.29.298.938549.69.788.869259.19.288.796268.89.568.7769720968.765488.49.458.719297.9968.661510178.478.6517.79.298.53461218.698.289.568.52691339.688.4962147.69.698.4385151198.287.89.558.3423168.1958.2846176.99.448.057718346198767.9192206.59.357.8462从表一中不难看出8号和9号队员综合水平相对最低，那么这两名队员将不幸被淘汰，剩下的18名队员将参加最后的全国数模竞赛。5.1.2 模型1.2采用层次分析法，建立层次结构模型，将18个要选出参赛的队员作为目标层，6个条件作为准则层，20个队员作为方案层。如下图：图5.1 层次结构模型图然后构造对比较矩阵，两两因素之间进行比较，比较时选取尺度见下表。表三 选取尺度表尺度含义1第i个因素与第j个因素的影响相同2第i个因素比第j个因素的影响略强3第i个因素比第j个因素的影响较强些4第i个因素比第j个因素的影响强5第i个因素比第j个因素的影响明显较强7第i个因素比第j个因素的影响绝对地强 用表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，得到正互反矩阵，算出结果为最后计算层次单排序的权向量和一致性检验，用MATLAB编程得到结果（见附录8.2.2）。得出正互反矩阵A的最大特征值，该特征值对应的归一化特征向量，则一致性指标，通过查表随机一致性指标，故最后算得一致性比率，通过了一致性检验。表四 随机一致性指标表 最后将求出的带入到模型1.1中，重复其过程，求出每个队员的综合水平数（表五），再进行淘汰，也是淘汰8号和9号两名队员。表五 新的队员综合水平排序表5.2问题二的模型建立与求解5.2.1 模型2.1建立与求解 设表示20个人中随机取三个人k、l、m的第i项条件指标数，表示k、l、m三个人第i项条件指标最大的新条件指标数，仍表示每项条件指标的权重系数。根据以上分析我们建立以下模型。模型2.1： 这个目标函数即为一个队的竞赛水平，找到每次选取的队员组队后竞赛水平最高的队伍即可。我们运用MATLAB来编程求解得到答案（见附录8.3.1）。需要补充的是： 一， 虽然我们仍然在20个人中挑选队员进行比较，但是问题一中淘汰的8,9两名队员的各个条件指标归零，也就是还是留下的18人进行组队，我们要求的是目标函数的最大值，故对此没有影响，程序中自动被排除，结果不会出现这两名队员。 二， k、l、m三个队员是随机选取的先作为一个队进行比较，程序将跑遍所有可能的情况，我们取全部情况的最大值即为最高竞赛水平的队伍，得到结果竞赛水平最高的组队方式为队员12、13、19一组，竞赛水平为9.63。在上述基础上，已选出的三个队员组成竞赛水平最高的队伍，剩下的十五名队员仍按上述方法继续逐次选优，直至选出六个队伍为止。得到最后组队结果见表六。表六 六组队员及竞赛水平组别队员1队员2队员3竞赛水平11213199.634615385247209.461538462336179.2384615384116189.153846154525158.89615384661011148.5269230775.3问题三的模型建立与求解5.3.1 模型3.1建立与求解设为k教练第1、2、3轮挑选的队员o,p,q的第i项条件指标数，其中i,j满足，表示k教练第2轮挑选的队员p与第1轮挑选的队员o的第i项条件指标数相比中的最大值，表示k教练第3轮挑选的队员q与第1,2轮挑选的队员o，p的第i项条件指标数相比中的最大值，表示各个条件指标的权重系数，分别表示k教练第1,2,3轮挑选队员的价值函数。我们将分三步来建立这个模型，目标函数是每一轮的价值函数。模型3.1：首先 按第一轮所给顺序A B C D E F六位主教练依次挑选自己满意的队员，也就是可选队员中对应价值函数值对大的队员。第一轮价值函数如下：按这种方法对应出A ,B, C, D, E, F六位教练应该分别选出队员12, 13, 7, 4, 18, 16.其次 按第二轮所给顺序F E D C B A六位主教练依次挑选自己满意的队员，这时各个教练就要根据第一轮选出的队员的各项条件指标数来选第二名队员，要取长补短，选虽是第一名队员弱项而却是第二名队员强项的队员，从而使价值函数达到最大。第二轮价值函数如下：其中，就是与相比条件指标数更大的那一个。按这种方法对应出F E D C B A六位教练应该分别选出队员19, 6, 20, 7, 3, 5.最后 按第三轮所给顺序B D F A C E六位主教练依次挑选自己满意的队员，这时各个教练就要根据第一、二轮选出的队员的各项条件指标数来选第三名队员，选虽是第一、二名队员弱项而却是第三名队员强项的队员，从而使价值函数达到最大。第三轮价值函数如下： 其中，就是与相比条件指标数更大的那一个。按这种方法对应出B D F A C E六位教练应该分别选出队员15, 1, 2, 10, 11, 14. 通过以上三步，教练就可以选出相对满意的队员了。我们运用MATLAB来编程求解得到答案（见附录8.4.1）。具体结果见表七。表七 教练的队员和竞赛能力教练队员1队员2队员3综合竞赛能力A125109.35B133159.188461538C717119.357692308D42019.230769231E186149.138461538F161929.1884615385.4问题四的模型建立与求解 模型4.1：不踢人 首先按照梯度将所有报名者分为三个不同的等级（既各自的价值函数），由于奖项有限且参赛队员有限，所以我们将第一梯队既最好的一个梯队放在一起进行最优的配对组合。而正是由于参赛名额以及获奖名额的限制，我们第二、三梯队就是一个学习、拔高梯队。因此我们加入一个能力增长函数，分别表示第二梯队的增长函数和第三梯队的增长函数。然后让第二三梯队共同组队，使得组队后，该队的整体增加水平达到最高。假设不受外界影响。受第二梯队影响。当出现第二梯队的带着第三梯队的组队时，有一个增长。模型4.2：踢人 由于报名人数增加，参赛队伍将要增加。所以我们用模型1.1按一定比例系数k淘汰掉一部分人，再用模型1.2进一步淘汰，然后再这批淘汰者中单项最优秀的人与保留下来的人做单项比较。如果该人在单项能排进前J名保留该人的参赛资格。然后按照问题二的模型二进行均衡化分组。6、 模型的评价与改进 所有模型我们都是在不同模型中进行了比较，选择的较好的模型。题中指定了各个条件的权重大小关系，但在实际中我们选择不同分工的队员，所考虑的条件主次会发生变化，如选择建模的队员我们更看重他的智力水平，选择编程的队员时我们却更看重他的动手能力。所有我们建议在选择队员组队时应同时考虑他的综合水平和他分工所对应条件的成绩。7、 参考文献1. 姜启源，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011年8月2. 张德丰，Matlab数值分析与应用，国防工业出版社，2007年1月3. 韩中庚，数学建模方法与应用（第一版），北京：高等教育出版社， 2005年6月4. 王连芬，层次分析法引论，北京：中国人民大学出版社，1990年5. 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，长沙：湖南教育出版社，1993年6. 数学建模队员的选拔研究问题 ， /view/fec03a1d59eef8c75fbfb3a1.html，2013年8月15日7. 数学建模试题数学建模队员的选拔， /view/264d239b51e79b8968022638.html，2013年8月15日8. 队员选拔与组队数学模型，/view/3122806e561252d380eb6eca.html，2013年8月15日9. 挑选队员的模型，/view/031fc68d6529647d2728521e.html，2013年8月15日10. 数学建模队员的选拔，/view/0a827c20eefdc8d376ee32b9.html，2013年8月15日8、 附录8.1 题设条件表一 各个队员的基本条件队员学习成绩智力水平动手能力写作能力协作能力其它特长18.69.08.28.09.566.59.2238.09.689.69.787.79.297.99.067.29.2987.08.066.59.356.99.44119.08.28.07.89.559.99.768.19.378.19.058.49.458.89.56178.48.079.19.287.69.69209.09.068.2 问题一的MATLAB程序8.2.1 模型1.1的程序data = 1.0000 8.6000 9.0000 8.2000 8.0000 9.5000 6.0000 2.0000 8.2000 8.8000 8.1000 6.5000 9.2000 2.0000 3.0000 8.0000 8.6000 8.5000 8.5000 9.6000 8.0000 4.0000 8.6000 8.9000 8.3000 9.6000 9.7000 8.0000 5.0000 8.8000 8.4000 8.5000 7.7000 9.2000 9.0000 6.0000 9.2000 9.2000 8.2000 7.9000 9.0000 6.0000 7.0000 9.2000 9.6000 9.0000 7.2000 9.2000 9.0000 8.0000 7.0000 8.0000 9.8000 6.2000 9.7000 6.0000 9.0000 7.7000 8.2000 8.4000 6.5000 9.3000 5.0000 10.0000 8.3000 8.1000 8.6000 6.9000 9.4000 4.0000 11.0000 9.0000 8.2000 8.0000 7.8000 9.5000 5.0000 12.0000 9.6000 9.2000 8.1000 9.9000 9.7000 6.0000 13.0000 9.5000 9.6000 8.3000 8.1000 9.3000 7.0000 14.0000 8.6000 8.3000 8.2000 8.1000 9.0000 5.0000 15.0000 9.1000 8.7000 8.8000 8.4000 9.4000 5.0000 16.0000 9.3000 8.4000 8.6000 8.8000 9.5000 6.0000 17.0000 8.4000 8.0000 9.4000 9.2000 9.1000 7.0000 18.0000 8.7000 8.3000 9.2000 9.1000 9.2000 8.0000 19.0000 7.8000 8.1000 9.6000 7.6000 9.6000 9.0000 20.0000 9.0000 8.8000 9.5000 7.9000 9.0000 6.0000 a1=data(:,2);a2=data(:,3);a3=data(:,4);a4=data(:,5);a5=data(:,6);a6=data(:,7);a=a1,a2,a3,a4,a5,a6; b=5 4.5 4 3.5 3 2;c=sum(b);w=b/c;%权重w=w;%得到每个人所具有的价值函数l=a*w8.2.2 模型1.2的程序clear;clc;a=1 2 3 4 5 7 1/2 1 2 3 4 6 1/3 1/2 1 2 3 5 1/4 1/3 1/2 1 2 4 1/5 1/4 1/3 1/2 1 3 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1 ;x,y=eig(a);r=abs(sum(y);n=find(r=max(r);max_y= y(n,n)max_x=x(:,n)x(:,1)d=x(:,1);d=d/sum(d)RI=1.24CI=(max_y-6)/5CR=CI/RI8.3 问题二的MATLAB程序8.3.1 模型2.1.1的程序a=8.69.08.28.09.59.69.69.77.79.27.99.07.29.297.08.06.59.36.99.449.08.28.07.89.59.99.78.19.38.19.08.49.48.89.568.48.09.19.27.69.699.09.06;r=0,0,0,0,0,0;a(8,:)=r;a(9,:)=r;b=7 6 5 4 3 1;w=b/sum(b);zz=; c=; d=; e=0; l=0;for i=1:20c(i,:)=dot(a(i,:),w,4);endcfor p=1:6 e=0;for i=1:18 for j=i+1:19 for k=j+1:20 d=c(i,:);c(j,:);c(k,:); l=sum(max(d); if e=l e=l; l1=i; l2=j; l3=k; end end endendz=p,l1,l2,l3,e;zz(p,:)=z;c(l1,:)=r;c(l