一元二次方程教案、练习及比赛测试题.doc

29 教 案科目 数学 时间 学生 第二十二章 一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2） 一元二次方程的一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。注意：三个要点，只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是2；是整式方程。例题：方程： 中一元二次是 （ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2；必须是整式方程。例题：当a_时，关于x的方程是一元二次方程例题：方程化成一般形式是_2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，。注意：若b0，方程无解例题：将方程左边配成完全平方式，得到的方程是（ ）A、 B、 C、 D、例题：解方程（2）因式分解法：一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。例题：解方程（3） 配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：当时，方程无解例题：将方程配方后，原方程变形为（ ） A B C D例题：解方程（4） 公式法：一元二次方程的求根公式：（）一般步骤： 将方程化为一般形式；确定方程的各系数a，b，c，计算的值；当，将a，b，c以及的值代入求根公式，得出方程的根注意: 当时，方程无解；公式法是解一元二次方程的万能方法；利用的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；例题：解方程3. 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b2-4ac当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根例题.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax22x10中，如果a0，那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定例题：若关于x的方程x2+2（k-1）x+k20有实数根。则k的取值范围是（ ）AkDk例题：已知实数m，n满足m2-7m+20，n2-7n+20，则_。4. 韦达定理（根与系数关系）（1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+； 可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。*实根与虚根。（2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q （3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0例题：设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）3例题：已知关于x的方程x2+kx-60的一个根是2，另一个根为_，k为_。例题：当m2时，使关于x的方程x2-4x+m0有两个不相等的非零实数根，此时相应代数式_。例题：已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m20的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（ ）A3或-1B3C1D-3或1例题：设x1,x2是方程2x2+4x3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)+ （3）x12+ x1x2+2 x125. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。例题：某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250，因为准备工作不足，第一天少拆了20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440。求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；（2）若第二天，第三天每天拆迁面积比前一天增长百分数相同，求这个百分数。中考题型：例题：已知ABC的两边AB，AC的长是关于x的方程x2-（2k+3）x+k2+3k+20的两个实数根，第三边BC的长为5，问：k取何值时，ABC时以BC为斜边的直角三角形？例题：关于x的方程kx2+2x-10有两个不相等的实数根，则k的取值范围时（ ）AK-1BK1CK0DK-1 且K0例题：已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1(a2x2a21)=0有无实根？作业：1. 解方程2. 解方程。3. 解方程。4. 解方程5. （1） （2） 6. 解方程7. 已知c为常数，并且方程的一个根的相反数是方程的一个根，求方程的根和c的值。8. 设x1、x2是方程的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值（1） （2）9. 若方程的一个根为0，另一个根是_。10. 关于方程的根的情况是_。A有两个不等实根B有两个相等实根C没有实根D无法判断11. 方程的整数解是_.12.已知，求的值.二、综合能力题1.方程的根为（）A.B.C.D.2.方程的根的情况是（）A.有两个不等的有理数根B.有两个相等的有理数根C.有两个不等的无理数根D.有两个相等的无理数根3.若方程的两次根中只有一个根为0，那么（）A.B. C. D.4.一元二次方程的两根为，则5.解下列方程（1）（2）（3）12. 已知关于x的一元二次方程的一个解是0，求m的值。13. 已知，求的值。6.已知关于方程的两个实根分别为0，求及k的值.7.试写出满足下列要求的一元二次方程各一个.（1）一个根是0，另一个根是负数.（2）一个根是正数，另一个根大于2而小于1. 8设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式=1，求p,q的值。9是否存在实数，使关于的方程9x2(47)x62=0的两个实根x1,x2，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。10.已知是关于方程的一个根，求下列各式的值. （1）.（2）.与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法 一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。一、换元例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是()A、-2B、0C、2D、4(93年“希望杯”竞赛题) 解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0A1=2，A2=3由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。x1+x2+x3+x4=4故选D。二、降次例2 已知、是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3的值。(96年江苏省竞赛题) 解：是方程x2-x-1=0的根，2-1=0，2=+1(二次转化为1次)4=(+1)2=2+2+1=+1+2+1=3+2(四次转化为一次)4+3=3+2+3=3(+)+2=31+2=5三、整体代入例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x+1993x，Sn=x+1993x，则aS1993+bS1992+cS1991=。(93年希望杯竞赛试题)解：x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，ax+bx1+c=0，ax+bx2+c=0。aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x+1993x)=(ax+bx+cx)+(a1993x+b1993x+c1993x)= x(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。四、配偶例4 已知、是方程x2-7x+8=0的两根且，不解方程，利用韦达定理求+32的值。(第八届“祖冲之”杯竞赛试题) 解：由韦达定理，得+=7，=82+2=(+)2-2=49-16=33，(-)2=(+)2-4=49-32=17，-=设A=+32，B=+32(A的配偶)则A+B=+3(2+2)=+333=A-B=-+32-32=-3(+)(-)=2A=A=五、反客为主例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。(98年香港初中数学竞赛试题) 解：设方程两整数根为、，则+=a。由此可知a必为整数将方程x2-ax+4a=0中的x视为常数，a视为未知数，方程可变为(x-4)a=x2a=x+4+a为正整数x=5, 6, 8, 12, 20。此时对应的a值为a=25, 18, 16, 18, 25。所有正实数a的值为25，18，16。六、构造新方程例6 已知两数a、b，ab1，且2a2+1234567890a+3=0(1)3b2+1234567890b+2=0(2)则=。(91年“希望杯”竞赛试题) 解：显然b=0不是方程(2)的解，方程(2)两边同除以b2，得3+1234567890+=0即2()2+1234567890+3=0考虑方程2x2+1234567890x+3=0中，=12345678902-240方程有两个不相等的实数根而ab1，即aa、是方程2x2+1234567890x+3=0的两个根。a=，即=七、反证法例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0bx2+2cx+a=0cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。(97年山东省数学竞赛试题) 证明：若三个方程都有两个相等的实数根，则三式相加，得4(a2+b2+c2)-4(ab+bc+ca)=0，a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0a=b=c这与已知a、b、c为互不相等的实数相矛盾。故题中三个方程不可能都有两个相等的实数根。八、巧用+1，-+1因式分解例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。(98年江苏省竞赛试题) 解：当k=0时，原方程化为x-1=0，x=1，符合题意。当k0时，设原方程的两个整数根为、，不妨设。由韦达定理，得+=-=-1-，(1)=1-。(2)(2)-(1)，得-=2-+1=3，(-1)(-1)=3、是整数，-1、-1也是整数，又，于是+=6或+=-2分别代入(1)，得k=-或k=1当k=0，-，1时，原方程的根都是整数。九、整体变形例9 设a、b、c、d0，证明在方程x2+x2+x2+x2+中，至少有两个方程有不相等的实数根。(92年“希望杯”竞赛试题) 证明：设这四个方程的判别式分别为1、2、3、4，则1=2a+b-2 (1)2=2b+c-2 (2)3=2c+d-2 (3)4=2d+a-2(4)1+3=(a+b-2)+(c+d-2)+a+b=()2+()2+a+b0 (5)2+4=(b+c-2)+(d+a-2) +b+d=()2+()2+b+d0 (6)若10，30，则1+30，与(5)矛盾。故1、3中至少有一个大于0。同理，2、4中也至少有一个大于0。所给的四个方程中，至少有两个方程有不相等的实数根十、分类讨论例10 已知三个关于x的方程：x2-x+m=0(1)(m-1)x2+2x+1=0(2)(m-2)x2+2x-1=0(3)其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是()A、m2B、m或1m2C、m1D、m1(98年山东省竞赛试题) 解：(1)有实根的条件是1-4m0，m，无实根的条件是m。(2)有实根的条件是m-1=0或，即m=1或m2且m1，无实根的条件是m2。(3)有实根的条件是m-2=0或，即m=2或m1且m2，无实根的条件是m1。若(1)(2)有实根，(3)无实根，则，解得m。若(1)(3)有实根，(2)无实根，则，不等式组无解。若(2)(3)有实根，(1)无实根，则，解得1m2。若(1)(2)(3)均有实根，则，不等式组无解。当m或1m2时，至少有两个方程有实根。故应选B。十一、数形结合一元二次方程问题常与对应的二次函数的图象联系起来考虑，由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。例11 是否存在这样的实数k，使得二次方程x2+(2k+1)x-(3k+2)=0有两个实数根，且两根都在2与4之间？若有，试确定k的取值范围；若没有，简述理由。(2000年数学奥林匹克训练题) 解：设f(x)=x2+(2k-1)x-(3k+2)，则其图象为开口向上的抛物线。根据题意若方程有两个实数根，且两根都在2与4之间，则抛物线与x轴应有两个交点或一个交点，且交点都在2与4之间(如图)。符合条件的k值应满足下列条件：(1)即4(k+1)2+50，k可取任何实数。(2)的解是k0。(3)的解是k-2。(4)的解是-k-。这个不等式组无解。故符合条件的k值不存在。 22.3一元二次方程应用题练习1甲、乙两船同时从A处出航，甲船以30千米/小时的速度向正北航行，乙船以每小时比甲船快10千米的速度向正东航行，则几小时后两船相距100千米？2一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所行的新数与原数的积为736，求原数。3张华将1000元人民币按一年期定期存入银行，到期后自动转存，两年后，本金和税后利息共获得1036.324元，问这种存款的年利率是多少？4阅读下面材料，然后解答问题。材料：把长为36cm的铁丝剪成相等的两段，一段弯成一个矩形，另一段弯成一个有一边长为5cm有等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，求矩形的边长。小强同学解答过程如下：解：设矩形的一边长为xcm，则另一边长为（9-x）cm，依题意得 整理得：x2-9x+12=0解得：；所以，矩形的边长为cm和cm。（1）小强的解答是否正确？为什么？（2）如果有错误，该如何改正？从中你将获得哪些启迪？5每件商品的成本是120元，在试销阶段，发现每件售价与商品的日销量始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利却不一样。为了找到每件商品的最佳定价，商场经理请一位营销策划师，在不改变每件商品售价与日销售量之间的关系的情况下，每件定价为m元，每日可盈利达到量佳数是1600元。若请你做这位营销策划师，你能计算出m的值应是多少吗？每件售价（元）130150165每日销量（件）7050356新青年商店从厂家以每件21元的价格购得一批商品，出售时，每件a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，该商店计划要赚400元，需要卖出多少件该商品？每件商品的售价应为多少？7有一个容器，盛满纯药液63L，第一次倒出一部分药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液后再用水加满，这时，容器内剩下的纯药液是28L，问每次倒出药液多少升？8某市为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加。某开发区2002年至2004年底的人口总数和人均住房面积的统计图分别为图甲和图乙，请根据两图提供的信息解答下列问题：020304年万人201817年020304109.69m2/人 （1）该区2003和2004年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米？ （2）由于经济发展的需要，预计到2006年底，该区人口总数将比2004年底增加2万人，为使2006年底该区人均住房面积达到11m2/人，试求2005年和2006年这两年该区住房面积的年平均增长率应达到多少？9一艘海轮以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心海里的圆形区域内（包括边界）都属台风区，当海轮行到A处时，测得台风中心移到位于A处正南方向的B处，且AB=100海里。（1）若这艘海轮自A处按原来的速度继续航行，途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间，若不会，试说明理由；（2）现在轮船自A处立即提高速度，向位于东偏北30o的方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到达之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数，）参考答案及提示12小时 提示：设x小时后相距100km，得：(30x)2+(40x)2=100223或32 提示：设个位数字为x，则十位上的数字为(5-x),则：10(5-x)+x(10x+5-x)=736 31.8% 提示：设年利率是x，则1000(0.8x+1)2=1036.324 4(1)不正确。考察问题不全面，没有注意分类讨论。（2）当5为腰时，如小强的解答；当5为底时，底上的高为，则解得：。启迪（供参考）：审题时要仔细，条件不清晰时，要运用分类思想，进行分类讨论，这样考虑问题才全面而周密。5160元 提示：每件盈利为m-120，由表格知每件售价+每日销量=200，即每日销量=200-m,得方程(m-120)(200-m)=16006. 100件，25元 提示：(a-21)(350-10a)=400,解得a1=25,a2=31(超过20%，舍去)所以350-10a=100 721L 提示：设每次倒出x升，得： 8（1）2004年，7.4万平方米。（2）10% 提示：设年平均增长率应达到x，则200(1+x)2=11(20+2) 9（1）会，1小时ABC20x100-40xDAB30oC提示：设最初遇到台风的时间为x小时，得：解得x1=1,x2=3.(2)6海里/时。提示：AD=60海里，由直角三角形可得AC=30海里，CD=海里。设台风经过x小时到达D港，依题意得：解得：所以 故海轮至少提速6海里/小时。第22章一元二次方程单元测试题一、选择题（每小题2分，共20分）1方程的解的情况是 （ ）A B C D以上答案都不对2将方程配方后，原方程变形为 （ ）A B C D3等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为 （ ）A8 B10 C8或10 D不能确定4关于的一元二次方程根的情况是 （ ）A有两个不相等的同号实数根 B有两个不相等的异号实数根C有两个相等的实数根 D没有实数根5满足“两实数根之和等于3”的一个方程是 （ ）A B C D6关于的一元二次方程的两根为那么代数式的值为 （ ）A B C2 D27已知，是方程的两个根，则代数式的值是 （ ）A37 B26 C13 D108用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为 （ ）AB CD9已知，则代数式的值为 （ ）A6B8CD10关于的方程有实数根，则K的取值范围是 （ ）A B C D二、填空题（每小题3分，共30分）11一元二次方程的一般形式是 12若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 13已知方程的两个实根相等，那么 14已知，当时，15方程的解是 16若关于得一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 17、是一元二次方程的两根，则的值为 18大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为米，则可列方程为 19一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是 20设、是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 .三、解答题（2123题每小题6分，2427题每题8分，共50分）21用配方法解方程22试写出满足下列要求的一元二次方程各一个 （1）一个根是0，另一个根是负数； （2）一个根是正数，另一个根大于2而小于123对于二次三项式，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不能等于11，你是否同意他的说法，说明你的理由24解方程：25己知一元二次方程（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根26甲、乙两人共同做一件工作，规定若干天完成，若甲单独完成这件工作，则比规定天数多做12天，若乙单独完成这件工作，则比规定天数多做27 天，求甲、乙单独完成这件工作各需多少天？27某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的，求新品种花生亩产量的增长率？参考答案一、选择题1C 2A 3B 4B 5A 6B 7A 8C 9C 10C二、填空题11 123 13 141或3 15， 1617 18 1910% 203三、解答题21原方程化为， 配方，得， 即， 3分 开方，得， ， 6分22（1） 3分（2）（答案不惟一） 6分23不同意， 2分因为， 4分当时，二次三项式的值等于11 6分24方程两边都乘以，约去分母，得 ， 2分 整理，得， 4分 解得， 6分 检验：当时，是原方程的增根； 当时，是原方程的根 所以，原方程的根是 8分25（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以0， 2分解得 4分（2）因为方程有两个相等的实数根，所以0， 解得 6分 此时方程的根为 8分26设规定天数为 天，则甲单独完成这件工作需天，乙单独完成这件工作需天，根据题意，得， 4分去分母，整理得， 5分解得 6分经检验，都是原方程的根，但不合题意，舍去 7分所以，这时，答：甲、乙单独完成这件工作各需30天、45天 8分27设新品种花生亩产量的增长率为，则出油率的增长率为，根据题意，得 ， 4分 整理，得， 6分 解得，（不合题意，舍去） 7分 答：新品种花生亩产量的增长率20% 8分一元二次方程单元测验题一填空题（每小题2分，共24分）1。方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2方程的判别式是 ，求根公式是 .3把一元二次方程化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项的系数是 ，常数项是 ；4。一元二次方程的一个根是3，则 ；5方程的根是 ，方程的根是 ；6已知方程的两个实根相等，那么 ；7 = ， 8是实数，且，则的值是 .9方程中，= ，根的情况是 .10已知与的值相等，则的值是 .11关于的方程是一元二次方程，则 .12.设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角