数学人教版九年级下册27章相似三角形的性质二.doc

相似三角形 教学设计教学设计思想相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点。相似三角形的判定是基础，所以应重点讲解，让学生熟记判定定理，再通过实例来体会相似三角形在实际生活中的应用。因此教学时注意知识的实践性和与“全等形”相关联的特点，突出学时探究基础上的概括，从而有利于提高学生掌握思维策略和学习能力。教学目标知识与技能：1能说出相似三角形的概念，会求相似比或相似系数。2熟记相似三角形的判定定理，并会应用证明。3熟记相似三角形的周长比和面积比。过程与方法：1重点讲解相似三角形的判定定理，并通过实例加以巩固。2在学习活动中，主动观察、操作和归纳，发展概况能力，提高数学思考的意识和能力。情感态度价值观：通过相似三角形概念及判定定理的引入过程，提高联系实际的意识，增进数学应用的眼光教学重难点重点：相似三角形的判定定理和相似三角形的周长比和面积比。难点：相似三角形的判定定理教学方法类比学习、探索发现教学媒体多媒体课时安排3课时教学过程设计第一课时：相似三角形的判定一、引入新课【师】多边形中最简单的图形是什么？【生】是三角形。【师】那在相似多边形中，最简单的相似图形是什么图形呢？ 【生】是相似三角形。【师】那我们能给相似三角形下个定义吗？大家仔细对ABC和进行观察，看看它们的角和边有什么特点？ 【生】角：，边：【师】如果两个三角形满足以上条件，我们就说这两个三角形相似，记作：ABC。K就是它们的相似比。二、利用定义，解决问题如图，在ABC中。点D是边AB的中点，DEBC，DE交AC于点E，ADE与ABC有什么关系？分析：直觉告诉我们，ADE与ABC相似，我们通过相似的定义证明这个结论。先证明两个三角形的对应角相等。在ADE与ABC中，AA，DEBC，ADEB，AEDC。再证明两个三角形的对应边的比相等。过点E作EFAB，EF交BC于点F。在中，DEBF，DBEF。，ADEF。又A1，2C，ADEEFC。，。这样，我们证明了ADE和ABC的对应角相等，对应边的比相等，所以它们相似，相似比为改变点D在AB上的位置，继续观察图形，容易进一步猜想ADE与ABC仍有相似关系。因此，我们有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三、一起探究用定义来证明三角形相似比较繁琐，我们能不能类似于判定三角形全等那样，找到判定三角形相似的方法呢？我们一起来探讨。探究1在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论。容易发现，这两个三角形是相似的，我们可以利用上面的结论进行证明。如图，在ABC和中，求证ABC。证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作DE，交于点E，根据前面的结论可得。又，同理DEBCABCABC。由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法（图27.2-3）：ABC判定定理一：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？探究2利用刻度尺和量角器画ABC和，使，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角B与，C与是否相等？改变A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：，ABC判定定理二：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。类似于证明通过三边判定三角形相似的方法。请你自己证明这个结论。探究3作ABC和，使得，这时它们的第三个角满足吗？分别度量这两个三角形的边长，计算、，你有什么发现？把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ABC和相似吗？我们可以得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：，ABC判定定理三：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。类似于证明通过三边判定三边判定三角形相似的方法，请你自己证明这个结论。四、例题讲解例1 根据下列条件，判断ABC与是否相似，并说明理由：（1）C120，AB7cm，AC14cm，；（2）AB4cm，BC6cm。AC8cm。，解：（1），又ABC。（2），。ABC与的三组对应边的比不等。它们不相似。例2 如图，弦AB和CD相交于O内一点P，求证：PAPBPCPD。证明：连接AC、BD。A和D都是所对的圆周角，AD同理CBPACPDB。即PAPBPCPD。五、作业练习1，2。六、板书设计相似三角形（一）相似三角形的判定相似三角形的概念 相似三角形的判定： 例题利用概念证明相似 判定一判定二判定三第二课时：相似三角形应用举例一、引入新课【师】今天这节课是“相似三角形的应用”，老师要带你们到很远很远的地方去实地考察、观光，让大家既能完成本节内容的学习，又能享受到大自然的风光，大家做好准备，我们马上出发。二、新课讲解第一站，到埃及的大金字塔，我们要算一算金字塔有多高。例3 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO。解：太阳光是平行光线，因此BAOEDF，又AOBDFE90，ABODEF。，因此金字塔的高为134m。第二站要到非洲尼罗河，我们该怎么算尼罗河有多宽。例4 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸待定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS45m，ST90m，QR60m，求河的宽度PQ。解：PQRPST90，PP，PQRPST。，即，PQ90（PQ45）60解得PQ90因此河宽大约为90m。解决了上面的两个实际问题，相似三角形的性质和应用你掌握了吗？来考考你！ 例5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB8m和CD12m，两树的根部的距离BD5m。一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：如图27.2-10（1），设观察者眼睛的位置（视点）为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K。视线FA、FG的夹角AFH是观察点A时的仰角。类似地，CFK是观察点C时的仰角。由于树的遮挡，区域和都在观察者看不到的区域（盲区）之内。解：如图27.2-10（2），假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A、C恰在一条直线上。由题意可知，AB，CD，ABCD，AFHCFK。即，解得FH8。由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。【师】以上是相似三角形在实际生活中的应用的几个常见的实例，你还能说出其他的实例吗？留作课下思考。三、作业 1，2题四、板书设计相似三角形（二）相似三角形的应用测量金字塔的高度 测量尼罗河的宽度 练习 作业第三课时：相似三角形的周长与面积一、提出问题如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？面积又有什么关系呢？两个相似多边形呢？ 二、一起探究探究一：我们知道，如果ABC，相似比为k，那么。因此，。从而由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比。用类似的方法，还可以得出：相似多边形周长的比等于相似比。探究二：（1）如图（1），ABC，相似比为k1，它们的面积比是多少？（2）如图（2），四边形ABCD相似于四边形，相似比为k2，它们的面积比是多少？如图（1），分别作出ABC和的高AD和。ABD和都是直角三角形，并且，ABD。这样，我们得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方。对于图（2）中的四边形，可以分别把它们划分为两个三角形，则ABC，ACD，我们也可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方。对于两个相似多边形，用类似的方法，能把它们分成若干个相似的三角形，因此可以得到：相似多边形的面