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函数的单调性 从图像看变化规律 2003年北京市4月21日至5月19日非典病例统计 1从左至右图象上升还是下降 2在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 o x y o x y o x y o x y o x y o x y o x y o x y o x y f x x21 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 减小 增大 定量的研究函数的单调性 怎样用一个简单的不等关系刻划函数的增减性 函数单调性的概念 一般地 函数f x 的定义域为i 注意关键词 两个简单的不等式就刻划了函数的递增或递减的性质 函数是增函数还是减函数 是对定义域内某个区间而言的 有的函数在一些区间上是增函数 而在另一些区间上可能是减函数 例如函数y x2 当x 0 时是增函数 当x 0 时是减函数 单调区间如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 单调函数的图像特征 增函数 图像从左向右上升 减函数 图像从左向右下降 例 如图是定义在闭区间 5 5 上的函数的图象 根据图象说出的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增函数还是减函数 思考 函数在定义域内的单调性 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 说明 函数的单调性是对某个区间而言的 对于单独的一点 由于它的函数值是唯一确定的常数 因而没有增减变化 所以不存在单调性问题 另外 中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数 对于闭区间上的连续函数来说 只要在开区间上单调 它在闭区间上也就单调 因此 在考虑它的单调区间时 包括不包括端点都可以 还要注意 对于在某些点上不连续的函数 单调区间不包括不连续点 说明 通过观察图象 对函数是否具有某种性质 作出猜想 然后通过推理的办法 证明这种猜想的正确性 是发现和解决问题的一种常用数学方法 证明 设 用定义证明函数单调性的步骤证明函数f x 在区间d上具有单调性的步骤 1 取值 对任意x1 x2 d 且x1 x2 2 作差 变形 f x1 f x2 3 定号 判定差的正负 注意理由的充分性 4 判断 根据判定的结果作出相应的结论 证明 设 证明 设 3 用定义证明函数单调性的步骤是 假设 作差变形 分解因式
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