数学模型作业(华农).doc

数学模型（2011-2012）选修课期末考试姓名： 欧晨 专业： 电子信息工程 年级： 2010级 学号： 201030100107 得分： 时间： 1、 有3对夫妻过河，舱至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河? （20分）建模分析：模型建立:结果与结论:不难验证，经11次可取运算即可完成。此题为状态转移问题，解决这种问题的方法,有状态转移法，图解法及用图的邻接距阵等。2、 我们设地面是一个球面(直径是1272103公里)，显然，如果高层建筑的墙是垂直的，则它们是不平行的。现有一个建筑物高400米地面面积2500平方米，问顶层有多大的额外面积? （15分）建模分析：r=6.36x10000，h=400，S地=2500，求S顶。模型建立:球的表面积S=4r，S地和S顶所对应的角度是一样的。所以：S地:4r=S顶:4(r+h)结果与结论:得：S顶=(160/159)x2500 S顶-S地=31.55m3、 市场上有不同包装的洗衣粉，其重量与价格之间的关系如下表：问这些数据是否集中在某条直线附近?如果不是根据这些数据是否可以建立一个经验模型?（20分）建模分析：先做出重量Y与价格X的散点图看似在某条直线附近， 可用最小二乘法模型建立:结果与结论: a=0.783 b=0.247y=0.247+0.783x4、 在小说格里佛游记中，小人国中的人们决定给格里佛相当于一个小人食量1728倍的食物。他们是这样推理的，因格里佛身高是小人的12倍，他的体格是小人的1231728倍。所以他需要的食物是一个小人食量的1728倍。为什么他们的推理是错误的？正确的是答案是什么?（20分）建模分析：人体进食是为了维持能量的消耗，因此所需的能量与体重有关。而体重y与身高x有什么关系呢？是否y=K*x*x*x？模型建立:身高（cm）60708090100110120130140150160170体重（kg）6.137.99.9912.1515.0217.520.9226.8631.1138.8547.2555.05以体重y为纵轴，以身高x为横轴建立直角坐标系，并描出相应的散点图如下：图一观察上述图像，并利用EXCEL分别用线性（即一次函数）、二阶多项式（即二次函数）进行拟合发现，该散点图的变化趋势与二次函数的图像比较接近，添加趋势线后的图像如下：图二因此，可以设身高与体重的函数模型的一般表达式为： Y=ax2+bx+c (a0) 选取最靠近趋势线的几个点（70，7.9）、（110，17.5）、（130，26.86）、（150，38.85），分别带入模型得到：a=0.0037,b=-0.431,c=19.697.故，不同身高（x）体重（y）之间的函数关系为：Y=0.0037x2-0.431x+19.697 结果与结论:将上述题目数据带入该公式，假设小人国身高为k，格里佛为12k，不难得到（小人国体重）Y1=0.037k*k-0.431k+19.697（格里佛体重）Y2=0.037*12k*12k-0.431*12k+19.697=5.328k*k-2.172k+19.697则m=Y2/Y1即可得到答案。1、 一年一度的高考很快就要临近了。现在有一位应届高中毕业生要请你帮忙选报高考志愿。选报时通常要考虑到学校的声誉、教学、科研、文体及环境条件，同时又要结合本人兴趣、考试成绩和毕业后的出路等因素。在每一因素内还含有若干子因素，如教学因素中要考虑到教师水平、学生水平、深造条件等。考生可填A、B、C、D四个志愿。试用层次分析法作出决策。（25分）建模分析：填报高考志愿（A），这里考虑的主要因素有：学校声誉（B1）、教学水平（B2）、学校环境（B3）、兴趣爱好（B4）、报考风险（B5）、毕业后出路（B6）、地理位置（B7），同时在教学水平（B2）中我们还要同时考虑教师水平（C1）、学生水平（C2）、教学设备（C3）这三个子因素。最后我们将从学生提出的八个志愿中，选择出最佳的四个。为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图模型建立:设有因素x1，x2，xn每次取两个因素xi xj，用正数aij表示xi与xj的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵A=（aij），称作成对比较阵A。显然有。然后求出成对比较矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量Y=(y1,y2,yn)T，定义标准化向量。对成对比较阵A=（aij），令 （*）称U=（U1，U2，Un）T为X=x1，x2，xn的权向量，它反映n个因素对目标A的相对重要性。经验证，U与Y误差很小，所以一般都用U代替Y。对于公式（*），对于一致性矩阵，即满足aijajk=aikUk可以简化为 则.Xi代表第i项因素的重要性指标。结果与结论:（1）考虑B=B1，B2，B7这七个因素对目标A2的相对重要性。B1B2B3B4B5B6B7目标A2108481073U（x）=（0.204,0.163,0.082,0.163,0.204,0.143,0.041）T。（2）考虑C=C1，C2，C3这三个因素对目标A2的相对重要性。C1C2C3目标A27108U（y）=（0.280,0.400,0.320）T。经调查，学生A2所要选报的八个志愿为：清华金融、清华精密仪器、北大计算机、北大物理、北大环境、厦门数学、厦门法学、北航计算机，分别设这八个志愿为K1，K2，K8。（3）考虑对于因素C1，C2，C3，比较K1，K2，K8的相对差异。K1K2K3K4K5K6K7K8因素C1101010101010109因素C21010101010998因素C3910101010999Wc1(K)= (0.127,0.1270.127,0.127,0.127,0.127,0.127,0.111)T,Wc2(K)= (0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104)T,Wc3(K)= (0.118,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.118)T。（4）考虑对于因素B1，B3，B4，B7，比较K1，K2，K8的相对差异。K1K2K3K4K5K6K7K8因素B11010101010998因素B3101010101010109因素B4107875888因素B51271410106因素B61091071071010因素B71010101010999WB1(K)=(0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104)T,很显然，得分拓在前四位的志愿是K7，K6，K3，K8，也就是厦门法学、厦门数学、北大计算机、北航计算机这四个志愿最适合A2报考。WB3(K)=(0.127,0.1270.127,0.127,0.127,0.127,0.127,0.111)T,WB4(K)=(0.164,0.115,0.131,0.115,0.082,0.131,0.131,0.131,)T,WB5(K)=(0.024,0.049,0.171,0.024,0.098,0.244,0.244.0.146)T,WB6(K)=(0.137,0.123,0.137,0.096,0.137,0.096,0.137,0.137)T,WB7(K)=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.130,0.123,0.123,0.123)T。最后再计算学生