数学人教版七年级下册5.1.2垂线.docx

5.1.2垂线1.认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.2.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.经历垂线的画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.通过与生活相联系,让学生对数学产生兴趣,认识到数学的实用价值.【重点】垂线、垂线段、点到直线的距离的概念.【难点】垂线的性质和点到直线的距离.第课时1.知道垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.通过操作、探究等活动,培养学生的动手能力,并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识.通过生动、有趣的活动,使学生积极参与到数学活动中,并在活动中感受成功的快乐.【重点】垂线的定义,用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.【难点】过一点画已知直线的垂线.【教师准备】相交线模型、三角尺、量角器.【学生准备】三角尺、直尺、量角器、硬纸条、图钉.导入一:出示意大利比萨斜塔图片.师:同学们,你们认识这个世界著名的建筑吗?对!是意大利的比萨斜塔.那么这个斜塔倾斜多少度呢?如图所示,直线AB可以看成地平面,射线OC可以看成塔身所在的直线.要回答这个问题,就涉及我们要学习的垂线问题.设计意图从学生比较熟悉的事物中抽象出数学问题,更能唤起学生探求新知的欲望.导入二:(学生事先准备宽约为1 cm,长约为20 cm的两张硬纸条,图钉一个)课堂操作:学生用图钉在中间把两张纸条订在一起,提示学生可以把两张纸条看作是两条直线,观察两条直线相交有几个交点?如图所示,可以看到,直线AB与CD相交,只有一个交点,可以说明直线AB,CD相交于点O.【思考】两条直线相交所构成的四个角能否相等?设计意图用现实生活中的例子,引入相交线所成的角,为理解垂直的定义做认知准备,同时也会激发学生的学习兴趣,有利于进入新的知识学习.导入三:如图所示,直线AB,CD相交于点O,若1=90,求其他三个角.教师出示问题,学生独立解决问题,并在练习本上书写解答过程.在这一过程中,教师应当关注学生是否能够独立完成问题,并且能否较规范地写出解答过程.然后学生口述过程并说明理由.设计意图通过练习,一是复习上节课的邻补角和对顶角的概念及性质,二是逐步培养学生的推理论证能力.一、探究垂线的概念思路一1.垂直的概念.过渡语相交线所形成的四个角中有邻补角、对顶角,都会形成怎样的角呢?请同学们观察老师手中的相交线模型.利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.教师出示相交线模型,如图(1)所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们的交角在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90的情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂线,记作ab,它们的交点叫做垂足,如图(2)所示,可记作:ABCD,垂足为O.推理过程如下:因为AOC=90(已知),所以ABCD(垂直定义).设计意图通过模型的展示让学生认识到,垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.知识拓展(1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公共点即为垂足.(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.(3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90,则这两条直线互相垂直.2.感受生活中互相垂直的实例.【思考】生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?教师出示图片:(提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系)学生从中观察相互垂直的直线,然后举出一些互相垂直的例子.设计意图通过对实物的感知,使学生认识到生活中处处有数学图形,在感受生活中的数学的同时加深对垂线的理解与掌握.3.例题讲解(自设).如图所示,三条直线相交于点O.若COAB,1=56,则2等于()A.30B.34C.45D.56解析1和2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把COAB转化为AOC=COB=90是关键.发现AOD,DOB分别是2的邻补角和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为COAB,所以COB=90,所以DOB=90-1=90-56=34.所以2=DOB=34(对顶角相等).方法2:因为COAB,所以COB=90,所以AOD=90+1=90+56=146.所以2=180-146=34(邻补角互补).故选B.设计意图角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.思路二1.实验探究.教师自制教具,将两根木条钉在一起(如图所示),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:问题:在木条b的转动过程中,哪个量也随之发生改变?师生活动:学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和性质.教师追问(1):当a与b所成角为90时,其余各角分别为多少度?师生活动:教师引导学生发现,当a与b所成角为90时,其余各角都为90,是木条相交中最特殊的一种情况.教师追问(2):这时木条a与b有何位置关系呢?师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直.设计意图让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.2.变换角度,认识垂直.仔细观察下图,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90,可以得出这两条直线有何位置关系呢?师生活动:学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念,并给出垂直的符号表示.教师追问(1):如图所示,如何用符号语言表示垂直的定义呢?师生活动:学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直的定义,教师点拨,规范学生的书写过程.如图所示,若AB和CD相交,且1=90,则直线AB和CD互相垂直,记作“ABCD”(或CDAB),读作“AB垂直于CD”.如果垂足是O,记作“ABCD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“”表示,在推理计算的过程中用“”表示.教师追问(2):如何判定两条射线互相垂直?两条线段呢?师生活动:学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;反之,若两条直线的交角为直角,则这两条直线互相垂直.如图所示,这个推理过程可以写成:因为ABCD(已知),所以AOC=COB=BOD=AOD=90(垂直的定义);反之,因为AOC=90(已知),所以ABCD.设计意图教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.教师追问(3):你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗?设计意图学生列举身边的实物,能由实物的形状想象出直线的垂直关系,将新知识应用到对周围环境的直接感知中,有利于学生建立直观、形象的数学模型.二、垂线的画法和性质过渡语在一条直线上可以画无数条这条直线的垂线,那么经过直线外一点可以画几条这样的直线呢?利用三角尺或量角器,可以过一点画出已知直线的垂线.下面我们来学习垂线的画法.问题:1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?画法点拨:过一点画已知直线的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为:(1)贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上;(2)过:使三角板的另一直角边经过已知点;(3)画:沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示,图(1)是点在直线l上,图(2)是点在直线l外.两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即过此点画已知直线的垂线),在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.提示:(1)过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.(2)过一点包括两种情况:点在直线外;点在直线上.活动方式:教师出示问题,学生分小组讨论尝试,然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.师生共同归纳结论:经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计意图通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法,使学生手脑并用,加深印象.通过师生的共同总结,培养学生的归纳总结能力,同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.(补充)如图(1)所示,在三角形ABC中,BCA为钝角.(1)画出过点C且与线段BA垂直的直线;(2)画出过点A且与线段BC垂直的直线.解析利用三角尺的直角正确画出图形,注意垂足的位置.(1)过点C作AB的垂线,垂足在线段AB上.(2)因为BCA是钝角,过点A画BC的垂线时,垂足在BC的延长线上.解:(1)过点C画AB的垂线,交AB于D,CD就是所求,如图(2)所示.(2)过点A画BC的垂线,交BC的延长线于E点,AE就是要求的垂线,如图(2)所示.知识拓展(1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上(如图所示).(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.1.垂线的概念:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.2.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.1.下列说法中,正确的个数是()相等的角是对顶角;在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;两条直线相交有且只有一个交点;两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:两角相等指的是数量关系上的相等,对顶角是特殊位置关系的相等的角,故错误;在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故正确;两条直线相交有且只有一个交点,故正确;两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直,故正确.即正确的个数是3.故选C.2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有()两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角;两条直线相交所成的四个角相等;两条直线相交所成的四个角中,有一组相邻的角相等;两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,是定义,能判断;两条直线相交所成的四个角相等,则四个角都是直角,能判断;两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等,根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角,能判断;两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180,根据对顶角相等求出这两个角都是直角,能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.3.如图所示,过P点,画出射线OA,OB的垂线.解析:图(1)的P点在射线OA,OB之外,图(2)的P点在射线OA之外,在射线OB之上.图(2)过点P作射线OA的垂线时,要注意垂足在射线OA的反向延长线上,需要用虚线表示延长线.解:如图所示.4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OECD,OFAB,BOD=25,求AOE和DOF的度数.解:因为OECD,OFAB,BOD=25,所以AOE=90-25=65,DOF=90+25=115.第1课时1.探究垂线的概念当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.例12.垂线的画法和性质在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例2一、教材作业【必做题】教材第5页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题5.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,已知点O在直线AB上,CODO于点O,若1=145,则3的度数为()A.35B.45C.55D.652.两条直线相交所构成的四个角中:有三个角都相等;有一对对顶角互补;有一个角是直角;有一对邻补角相等.其中能判定这两条直线垂直的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,在正方体中和AB同在一个平面,且和AB垂直的边有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图所示,已知AB,CD相交于O,OECD于O,AOC=30,则BOE等于()A.30B.60C.120D.130【能力提升】5.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,COOE,OF平分AOE,COF=34,求BOD的度数.6.如图所示,已知OCAB于O,AODCOD=12.(1)若OE平分BOC,求DOE的度数;(2)若AOE的度数比COE的度数的3倍多30,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.7.如图所示,直线AB,CD相交于点O,BOD=40,按下列要求画图并回答问题.(1)在直线AB上方画射线OE,使OEAB;(2)分别在射线OA,OE上截取线段OM,ON,使OM=ON,连接MN;(3)画AOD的平分线OF,交MN于点F;(4)直接写出COF和EOF的度数:COF=度,EOF=度.【拓展探究】8.(1)在图(1)中以P为顶点画P,使P的两边分别和1的两边垂直;(2)量一量图(1)中P和1的度数,它们之间的数量关系是;(3)同样在图(2)和图(3)中以P为顶点作P,使P的两边分别和1的两边垂直,分别写出图(2)和图(3)中P和1之间的数量关系(不要求写出理由).图2:,图3:;(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角.(不要求写出理由)【答案与解析】1.C(解析:因为1=145,所以2=180-145=35,因为CODO,所以COD=90,所以3=90-2=90-35=55.故选C.)2.D(解析:根据垂直的定义:两直线的交角为90时,这两条直线互相垂直进行分析即可.)3.D(解析:因为正方体的每一个面都是正方形,即每一个角都为90,所以与AB垂直的边有4条.故选D.)4.C(解析:因为OECD,所以EOD=90,因为AOC=30,所以BOD=AOC=30,所以BOE=EOD+BOD=90+30=120.故选C.)5.解:因为COOE,所以COE=90.因为COF=34,所以EOF=90-34=56.又因为OF平分AOE,所以AOF=EOF=56.因为COF=34,所以AOC=56-34=22.则BOD=AOC=22.6.解:(1)因为OCAB于O,所以AOC=BOC=90.因为AOC=90,AODCOD=12,所以DOC=60.因为OE平分BOC,BOC=90,所以COE=45,DOE=DOC+COE=60+45=105.(2)ODOE.理由如下:OCAB于O,所以AOC=BOC=90.因为AOC=90,AODCOD=12,所以DOC=60,因为AOE-COE=2COE+30,且AOE-COE=90,所以2COE+30=90,所以COE=30.因为DOE=DOC+COE=60+30=90,所以ODOE.7.解:(1)如图所示的射线OE.(2)如图所示的ON,OM,线段MN.(3)如图所示的OF平分AOD,交MN于点F.(4)110208.解:(1)如图(1)所示.(2)P+1=180(3)如图(2)(3)所示.P=1APB+1=180(4)相等或互补在这堂课中,学生的主体地位突出,真正经历了知识形成的全过程.在自主学习、合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明,在自由探索与合作交流的学习方式中,学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课中的每一个学习活动,都以学生个性思维、自我感悟为前提,多次设计了让学生自主探索、合作交流的活动.通过学生和谐有效地互动,强化了学生的自主学习意识.(1)在教学过程中学生归纳的少,教师说明的多,没有让学生充分发表自己的见解.(2)在学习画垂线的过程中,部分学生画的不够规范,教师在指导上不够到位.对于知识的形成,教师要充分让学生探索、观察,用自己的语言表述发现的问题,然后充分发挥集体的合力,取长补短,逐步完善,教师再给以适当的点拨,形成结论.画已知直线的垂线,教师要注意画图的指导,一要注意规范,二要注意对知识的分析与强化,使学生对垂线有更深一步的认识.从而达到对知识的理解和掌握,对于学生出现的问题一定要及时点评.练习(教材第5页)1.解:垂直.理由如下:因为两条直线相交所成的角的度数之和为360,而四个角都相等,所以每个角都为90,所以两条直线垂直.2.解:如图所示.平行直线和垂直直线在社会生活中起着非常大的作用,在建筑和艺术中的应用比比皆是,如图所示的是我国古代钱币的图案,有人如此解释为什么这么设计这个图案,圆代表国土、疆域,方取正直、无私的寓意,圆中有方表明钱财要为国家建设服务.这种说法体