初中数学知识点整理.pdf

数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上 门辅导 包教包会 门辅导 包教包会 联系人 程老师联系人 程老师 电电话话初中数学重点知识汇总 青岛版 初中数学重点知识汇总 青岛版 八年级上册八年级上册 1 全等三角形 1 概念 形状相同 大小相等 能够完全重合的三角形我们称为全等三角形 记作 ABC DEF 能够重合的边叫做对应边 能够重合的角叫做对应角 2 性质 对应边相等 对应角相等 3 判定 两边及其夹角对应相等 边角边 SAS 两角及其夹边对应相等 角边角 ASA 两角及其一邻边对应相等 角角边 AAS 三边对应相 等 边边边 SSS 直角三角形的斜边及其一条高对应相等 HL 2 图形的轴对称 1 两个图形关于直线成轴对称 一个图形沿某条直线翻折能够与另一个图形完 全重合 则称这两个图形关于该直线成轴对称 能够重合的点叫做对应点 2 轴对称图形 一个图形的一部分沿图形内某条直线折叠能够与该图形的另一 部分完全重合 这样的图形我们称为轴对称图形 3 轴对称图形的基本性质 对称轴垂直平分对应点的连线 3 线段的垂直平分线 1 概念 经过线段中点 并且与该线段垂直的直线 2 性质 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 3 推论 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 4 角平分线 1 概念 过角的顶点向角的内侧引一条射线 把这个角分成完全相同的两个角 这条射线叫做这个角的角平分线 2 性质 角平分线上的点到角两边距离相等 3 推论 到角两边距离相等的点在该角的角平分线上 5 等腰三角形 1 概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2 性质 等腰三角形两底角相等 等边对等角 等腰三角形顶角的角平分 线 底边上的高以及底边上的中线重合 三线合一 3 判定 根据定义 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 6 分式 1 概念 整式 A 整式 B 写成 B A 的形式 其中 B 中含有字母 则 B A 我们称之 为分式 其中 A 叫做分子 B 叫做分母 2 分式有意义的条件 分母不为零 类比分数有意义的条件 特别地 当分 式的值为零时 分式中分子为零 分母不为零 3 基本性质 分式的分子 分母同时乘以或除以一个不为零的整式 分式的值 数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上 门辅导 包教包会 门辅导 包教包会 联系人 程老师联系人 程老师 电电话话不变 类比分数的基本性质 分数的分子分母同时乘以或除以一个不为零的 数分数的值不变 4 约分 根据分式的基本性质 分子分母同时约掉 1 以外的公因式叫做约分 5 最简分式 当一个分式的分子分母除1外没有其它公因式时称为最简分式 类 比最简分数 当一个分数的分子分母除1外没有其它公因数时称为最简分数 6 约分的一般步骤 分子或分母为多项式的首先要对其进行分解因式 确定 分子分母的公因式 取分子分母公因式系数的最大公约数作为公因式的系 数 取各字母因式的最低次幂因式作为公因式的字母因式与公因式系数相乘 作为公因式 分子分母同时除以公因式 7 分式乘除法法则 乘法 两分式相乘 分子之积作为积的分子 分母之积 作为积的分母 除法 两分式相除 先把除式分子分母调换位置再与被除式 相乘 类比分数乘除法法则 两分数相乘 分子之积作为积的分子 分母之 积作为积的分母 两分数相除等于被除数乘以除数的倒数 8 通分 把几个异分母的分式化为与原分式值相等的同分母的分式叫做通分 类比分数的通分 把几个异分母的分数化为与原分数值相等的同分母的分 数叫做分数的通分 9 最简公分母 取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂之积作 为最简公分母 类比分数的最简公分母 取所有分数的分母的最小公倍数作 为分数的最简公分母 10 通分的一般步骤 若分母为多项式 首先对其进行分解因式 确定最简公 分母 取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 取各字母因式的 最高次幂作为最简公分母的字母因式 分子分母同时乘以最简公分母与原 分母的商式 11 分式加减法法则 同分母分式相加减 分母不变 分子相加减 异分母分式 相加减 先通分 分母不变 分子相加减 7 分式方程 1 概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 解分式方程的一般步骤 去分母 将分式方程化为整式方程 解整式方程 检验 将整式方程的根代入分式方程的最简公分母检验分母是否为零 3 增根 使分式方程分母等于零的根 八年级下册八年级下册 1 平行四边形 1 概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2 性质 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形对角 线互相平分 3 判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 矩形 1 概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 有三个角是直角的四边形叫 数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上 门辅导 包教包会 门辅导 包教包会 联系人 程老师联系人 程老师 电电话话做矩形 2 性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线互相平分且相等 3 直角三角形的性质定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4 判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是 矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形 是矩形 3 菱形 1 概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 四条边相等的四边形叫做菱 形 2 性质 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相平分且垂直 3 判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱 形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相平分且垂直的四边 形是菱形 4 三角形的中位线 1 概念 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2 定理 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 5 算术平方根 若一个非负数 x 满足 x2 a 那么非负数 x 叫做 a 的算术平方根 x 可以记作 a 读作 根号 a 即 x a 特别地 00 6 平方根 若一个数 x 满足 x2 a 那么这个数 x 叫做 a 的平方根或二次方根 x 可以记作 a 读作 正负根号 a 即 x a 求一个数 a 平 方根的运算叫做开平方 其中 a 叫做被开方数 7 性质 正数有两个平方根 互为相反数的两个数的平方相等 零有一个 平方根就是零 零的平方等于零 负数没有平方根 任何一个实数的平方 都不是负数 8 立方根 若一个数 x 满足 x3 a 那么这个数 x 叫做 a 的立方根或三次方根 x 可以记作 3 a 读作 三次根号 a 即 x 3 a 求一个数 a 三次 方根的运算叫做开立方 其中 a 叫做被开方数 左上角的 3 叫做根指数 9 性质 正数有一个正的立方根 零的立方根是零 负数有一个负的立方根 10 勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 11 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这是 一个直角三角形 12 不等式 1 概念 用 或 等不等号所表示不等关系的式子叫做不等式 2 基本性质 不等式两边同时加上或减去同一个整式不等号方向不变 不等 式两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变 不等式两边同时乘 以或除以同一个负数不等号的方向发生改变 3 一元一次不等式 只含有一个未知数 不等号左右两边都是整式 未知数 的次数都是一次 像这样的不等式叫做一元一次不等式 使不等式成立的未 知数的值叫做这个不等式的解 不等式所有的解的集合叫做这个不等式的解 数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上 门辅导 包教包会 门辅导 包教包会 联系人 程老师联系人 程老师 电电话话集 4 一元一次不等式组 由两个或两个以上含有同一个未知数的一元一次不等式 所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 一元一次不等式组中各个不等式 解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集 求不等式或不等式组解集叫 做解不等式或解不等式组 13 二次根式 1 概念 形如a a 0 的式子叫做二次根式 其中 a 叫做被开放式 当且 仅当被开放式大于等于零时二次根式有意义 2 性质 a 0 a 0 0aaa 2 aa 2 0b 0abaab 0b 0a b a b a 3 最简二次根式 被开方式中不含分母且不含能开得尽方的因式 这种二次根 式叫做最简二次根式 4 二次根式的加减法法则 二次根式相加减 先把二次根式化为最简二次根式 再把被开方式相同的二次根式分别合并 5 二次根式的乘除法法则 二次根式相乘除 先把被开方式相乘除再将其乘积 或商化为最简二次根式 14 一次函数 1 函数 在同一变化过程中 假设有两个变量 x y 在一定范围内如果对于任 意一个 x 都有唯一确定的一个 y 与之对应 那么就称 y 是 x 的函数 其中 x 叫做自变量 2 一次函数 形如 y kx b k 0 的函数叫做关于 x 的一次函数 其中 k 与 b 是常数 当 b 0 时 y kx 叫做正比例函数 k 叫做比例系数 也叫斜率 3 一次函数的图像与性质 一次函数的图像是一条直线 当 b 0 时函数图像 经过第一象限或第二象限 当 b 0 时函数图像经过坐标原点 当 b 0 时函 数图象经过第三象限或第四象限 当 k 0 时 y 随 x 增大而增大 当 k 0 时 y 随 x 增大而减小 九年级上册九年级上册 1 相似三角形 1 概念 各边对应成比例 各角对应相等的三角形我们称之为相似三角形 记 作 ABC DEF 相等的角叫做对应角 成比例的边叫做对应边 2 公理 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 3 推论 平行于三角形的一边并与其他两边相交的直线所截得的三角形与原三 角形的三边对应成比例 4 判定 两角分别相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上 门辅导 包教包会 门辅导 包教包会 联系人 程老师联系人 程老师 电电话话5 性质 相似三角形对应线段 对应边 对应高 对应中线 对应角平分线 等 之比叫做相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 6 补充 高相等的两个三角形 面积之比等于对应的底边之比 底边相同的两 个三角形面积之比等于对应底边上的高之比 2 解直角三角形 1 概念 在 Rt ABC 中 若 C 90 A 的正弦记作 sinA 斜边 的对边A A 的余弦记作 cosA 斜边 的邻边A A 的正切记作 tanA 的邻边 的对边 A A 锐角 A 的 正弦 余弦 正切统称为锐角 A 的三角比 2 特殊角的三角比 sin30 2 1 cos30 2 3 tan30 3 3 sin45 cos45 2 2 tan45 1 sin60 2 3 cos60 2 1 tan60 3 3 解直角三角形 已知直角三角形中除了直角以外五组元素中的两组元素 至 少包含一边 而求解其它未知元素的过程叫做解直角三角形 在 Rt ABC 中 若 C 90 则 角之间的关系 A B 90 边之间的关系 a2 b2 c2 角与边之间的关系 sinA c a cosA c b tanA b a 3 圆 1 概念 一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时 它的另一个端点的 运动轨迹就叫做圆 平面上到定点的距离等于一定长度的所有点的集合就叫 做圆 若圆心为点 O 则记为 O 2 性质 对称性 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 任意一条直径所在 的直线都是其对称轴 圆心是其对称中心 推论 1 垂径定理 垂直于弦的 直径平分弦及其所对的两条弧 2 等弧对等角 等角对等弦 在同一个圆或 半径相等的两个圆中 若两个圆心角 两条弧 两条弦中有任意一组量相等 那么与之对应的其余各组量都相等 圆心角的度数即为其所对的弧的度数 圆周角 顶点在圆周上 两边在圆内的部分是圆的两条弦 性质定理 圆 周角度数等于其所对弧上的圆心角度数的一半 推论 1 圆周角的度数等于 其所对弧的度数的一半 2 同弧或等弧上的圆周角相等 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 3 直径所对的圆周角是直角 直角所对的弦是 直径 4 圆的内接四边形对角互补 3 点与圆 点 P 到 O 的距离小于 O 的半径 R 则点 P 在 O 内 点 P 到 O 的距离大于 O 的半径 R 则点 P 在 O 外 点 P 到 O 的距离等 于 O 的半径 R 则点 P 在 O 上 4 直线与圆 当直线 l 与 O 有两个公共点或点 O 到直线 l 的距离小于 O 的半径 R 时 叫做直线 l 与 O 相交 l 叫做 O 的割线 当直线 l 与 O 数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上 门辅导 包教包会 门辅导 包教包会 联系人 程老师联系人 程老师 电电话话没有公共点或点 O 到直线 l 的距离大于 O 的半径 R 时 叫做直线 l 与 O 相离 当直线 l 与 O 只有一个公共点或点 O 到直线 l 的距离等于 O 的 半径 R 时 叫做直线 l 与 O 相切 其交点叫做切点 l 叫做 O 的切线 推 论 1 切线的判定 过半径外端点并垂直于该半径的直线是圆的切线 2 切 线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径 直径 推论 经过圆心且垂直 于切线的直线必过切点 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 3 切线长 过圆外一点作圆的切线 该点到切点的距离即为切线长 定理 过圆外一 点可作两条该圆的切线 该点到两切点的距离相等 5 三角形与圆 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做该三角形 的外接圆 根据线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等 外接圆圆心叫做该三角形的外心 三条边的垂直平分线的交 点 该交点到三个端点的距离相等 推论 平面内不在同一条直线上的三 个点可以确定一个圆 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做该 三角形的内切圆 根据角平分线的性质 角平分线上的点到该角两边的距离 相等 内切圆的圆心叫做该三角形的内心 三个内角的角平分线的交点 该交点到三角形三条边距离相等 这个三角形叫做内切圆的外切三角形 6 四边形与圆 圆的内接四边形 四个顶点都在同一个圆上的四边形 性质 1 圆的内接四边形对角互补 根据圆周角的性质以及三角形外角的性质可得 2 圆的内接四边形对边乘积之和等于对角线的乘积 托勒密定理 圆的 外切四边形 四条边与同一个圆相切的四边形 性质 圆的外接四边形对边 之和相等 根据切线长定理可得 7 圆幂定理 相交弦定理 圆内相交的来那个条弦 被交点所分成的两条 线段之积相等 切割线定理 自圆外一点向圆引切线和割线 切线长是该 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 割线定理 自圆外一点向圆 引两条割线 该点到每条割线与圆交点的距离之积相等 8 弧长与扇形面积 半径为 R 弧所对圆心角为 则弧长 l 360 2 R 该弧所对 的扇形面积 S 360 2 R lR 2 1 4 一元二次方程 1 概念 方程两边都是整式 它们都只含有一个未知数 并且整理后未知数的 最高次幂为二次 像0 2 cbxax这样的方程我们叫做一元二次方程 其 中 ax2叫做该方程的二次项 a 叫做二次项系数 bx 叫做该方程的一次项 b 叫做一次项系数 c 叫做常数项 2 解法 配方法 1 先把二次项系数化为 1 根据等式的基本性质方程两边 同时除以 1 以外的二次项系数 2 再把常数项移到方程的右边 3 最后在 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 根据完全平方公式将方程左边写 成完全平方的形式 4 若方程右边为一个非负数 则方程两边同时进行开方 运算 求得其平方根 再求 x 的值 若方程右边为一个负数 则该方程无实 数解 公式法 一般地 对于一元二次方程0 2 cbxax 当判别式 数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上数学教学 起源于生产 生活的思考 侧重于技巧 能力的培养 中学数学一对一上 门辅导 包教包会 门辅导 包教包会 联系人 程老师联系人 程老师 电电话话04 2 acb时 注 1 若04 2 acb 则方程有两个不相等的实数解 2 若04 2 acb 则方程有两个相等的实数解 3 若04 2 acb 则 方程无实数解 上述判别式可由配方法推得 它的根是 a acbb x 2 4 2 因式分解法 将原方程化为0 2 cbxax的形式 若方程左侧能进行因 式分解 则将方程左侧化成两个因式乘积的形式 再分别让两个因式等于零 求出 x 的值 像这种方法叫做因式分解法 3 根与系数的关系 韦达定理 若一元二次方程0 2 cbxax有两个根 分别是 x1 x2 那么 a c xx a b xx 2121 可由求根公式运算推得 上述 关系式又叫韦达定理 特别地 2 2 2 2 21 2 21 2 21 44 4 a acb a c a b xxxxxx 2 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 22 2 a acb a c a b xxxxxx a acb xx 4 2 21 九年级下册九年级下册 1 对函数的进一步探究 1 概念 在同一变化过程中 假设有两个变量 x y 在一定范围内如果对于任 意一个 x 都有唯一确定的一个 y 与之对应 那么就称 y 是 x 的函数 其中 x 叫做自变量 2 表示方法 图像法 用图像表示函数关系的方法 列表法 用表格的形 式表示函数关系的方法 解析法 用函数表达式表示函数关系的方法 3 自变量取值范围的确定 必须使含自变量的代数式本身有意义 1 自变量 在被开方式中 自变量不得使被开方式为负值 2 自变量在分母中 自变量 不得使分母为零 3 自变量在零次幂的底数中 自变量不得使底数为零 当函数表达式表示实际意义时 自变量必须符合实际意义 比如当自变量 表示时间 长度等 自变量不能是负的 4 反比例函数 概念 一般地 形如 是不等于零的常数k x