高中数学4.1坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系知识导航学案苏教版选修.docx

4.1.3 球坐标系与柱坐标系自主整理1.在空间任取一点O作为_，从O引两条_的射线OX和OZ作为_，再规定一个_和射线OX绕OZ轴旋转所成的角的_，这样就建立了一个_.答案:极点 互相垂直 极轴 单位长度 正方向 球坐标系2.设P是空间一点,用r表示OP的长度,表示以OZ为始边,OP为终边的角,表示半平面XOZ到半平面POZ的角.那么,有序数组(r,)就称为点P的_.这里r是_,相当于_,相当于_.当r0,0_，0_时，空间的点（除直线 OZ上的点）与有序数组（r,）(r0,0)建立一一对应关系.答案:球坐标 矢径 经度 纬度 23.空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,，）之间的变换关系为：_.答案:4.在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的OZ轴，可得_.答案:空间柱坐标系5.设P是空间一点，P在过O且垂直于OZ轴的平面上的射影为Q，取OQ=，XOQ=，QP=z.那么，点P的柱坐标为有序数组（，z）.当0，02，zR时，空间的点（除直线OZ上的点）与有序数组（，z）（0）建立一一对应关系.高手笔记1.设空间中一点M的直角坐标为（x,y,z）,点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连结OM和OM0.如图所示，设z轴的正向与向量的夹角为，x轴的正向与的夹角为，M点到原点O的距离为r,则由三个数r,构成的有序数组（r,）称为空间中点M的球坐标.若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为（，），则极坐标中的就是球坐标中的，在球坐标中限定r0,02,0.2.在空间球坐标系中，方程r=r0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面；方程=0（002）表示过z轴的半平面，它与xOz坐标面的夹角为0；方程=0（00）表示顶点在原点，轴截面顶角为20的圆锥面，且中心轴是z轴，0时它在上半空间，0时它在下半空间，0=时它是xOy平面，如图所示.3.设空间中一点M的直角坐标为（x,y,z），M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为（，），如图所示，则三个有序数，z构成的数组（，z）称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中，限定0，02，z为任意实数.由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标.名师解惑 在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等. 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题. 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建立空间直角坐标系. 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥正四棱锥正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题. 有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系.讲练互动【例题1】已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标.思路分析：此题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来.如图，C1点的x,y,z分别对应着CD、BC、CC1；C1点的,z分别对应着CA、BAC、CC1；C1点的（r,，)分别对应着AC1、A1AC1、BAC.解：C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arccos,arctan).绿色通道 另外，点B的空间直角坐标为（14，0，0），柱坐标为（14，0，0），球坐标为（14，,0）；点A1的空间直角坐标为（0，0，10），柱坐标为（0，0，10），球坐标为（10，0，0）.变式训练1.设点M的直角坐标为（1，1，），求它的球坐标.思路分析：利用球坐标与直角坐标的坐标变换公式求解.解：由坐标变换公式，可得r=.由rcos=z,得cos=.=.又tan=1,=(M点在第一卦限)，故M点的球坐标为（2，）.【例题2】一个圆形体育场看台，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区,十六区，我们设看台第一排与体育场中心的距离为200m，且与中心水平，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.7m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来.解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A与体育场中轴线OZ的距离为203m，极轴OX按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.1 m，因此点A的柱坐标为(203,2.1).绿色通道 找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度.变式训练2.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80，纬度为75.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器的坐标.思路分析：在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线OX为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O为端点且经过北极的射线OZ（垂直于赤道平面）为另一条极轴，如图建立一个球坐标系.解：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度80处，可知=80.由航天器位于纬度75处，可知=90-75=15.由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.即航天器的球坐标为(8 755,15,80).教材链接P11思考 在地球同步通讯卫星的问题中，建立适当的球坐标系，并运用球坐标表示三个地球同步通讯卫星的位置. 答：以地球球心为极点O，以O为端点且经过一颗卫星的射线为OX轴，垂直