高中数学1.3圆锥截线1.3.3圆锥的截线知识导航学案苏教版选修.docx

1.3.3 圆锥的截线自主整理1.设圆锥面V是由直线l绕直线l旋转而得,l与l交点为V,l与l的夹角为（090）,不经过圆锥顶点V的平面与圆锥面V相交.设轴l与平面所成的角为.（1）=90时,平面与圆锥的交线为_;（2）90时,平面与圆锥的交线为_;（3）=时,平面与圆锥的交线为抛物线;（4）时,平面与圆锥的交线为双曲线.2.圆锥曲线的统一定义:平面上到定点F与定直线M距离的比为_的点的轨迹是圆锥曲线,称定点F为这个圆锥曲线的_,称直线m为该圆锥曲线的与焦点F相应的_.3.圆锥曲线上任意一点到焦点的距离与到相应准线距离之比等于常数e.（e=）当90时,0e1,此时该圆锥曲线为_;当=时,e=1,曲线为_;当0时,e1,曲线为_.称e为此圆锥截线的_.高手笔记1.如图1.3-21,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高.BAD=.直线l与AD相交于点P,且与AD的夹角为（0）. 图1.3-21 图1.3-22如图1.3-22,有如下结论:（1）当l与AB（或AB的延长线）、AC都相交时,设l与AB（或AB的延长线）交于E,与AC交于F.因为是AEP的外角,所以必然有;反之,当时,l与AB（或AB的延长线）、AC都相交.（2）当l与AB不相交时,则lAB,这时有=;反之,当=时,lAB,那么l与AB不相交.（3）当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,因为是APG的外角,所以;反之,如果,那么l与BA的延长线、AC都相交.2.把上述中的等腰三角形拓广为圆锥,直线拓广为平面,则有如下结论:如果用一个平面去截一个正圆锥（两边可以无限延伸）,而且这个平面不通过圆锥的顶点,会出现四种情况;如果平面与一条母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交.这时的交线是一条抛物线;如果平面不与母线平行,那么会出现三种情形：平面只与圆锥的一半相交（且与圆锥的轴垂直）,这时交线为圆;平面只与圆锥的一半相交（且不与圆锥的轴垂直）,这时交线为椭圆;平面与圆锥的两部分都相交,这时的交线叫做双曲线.名师解惑当（90）,平面与圆锥面的交线是椭圆,如何确定该椭圆的准线呢?剖析:如图1.3-23,上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S,记圆S所在的平面为.设与的交线为m.在椭圆上任取一点P,连结PF1.在中过P作m的垂线,垂足为A.过P作的垂线,垂足为B,连结AB,则AB是PA在平面上的射影.容易证明,mAB.故PAB是平面与平面所成的二面角的平面角.在RtABP中,APB=,所以PB=PAcos.图1.3-23设过P的母线与圆S交于点Q1,则在RtPQ1B中,Q1PB=,所以PB=PQ1cos=PF1cos.由得:.因为0,所以coscos.所以1.由上所述知,椭圆的准线为m.讲练互动【例题】利用Dandelin双球证明当90时，平面与圆锥面的交线是椭圆.分析:利用椭圆定义:平面内到两定点F1、F2的距离和为一个定值2a（2a|F1F2|）的点的轨迹是椭圆.证明：如图1.3-24,在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面的上方,一个位于平面的下方,并且与平面及圆锥均相切.图1.3-24当时,平面与圆锥的交线是一个封闭曲线.设两个球与平面的切点分别为F1、F2,与圆锥相切于圆S1、S2.在平面与圆锥面的交线上任取一点P,连结PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1,交S2于Q2,于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线,因此PF1=PQ1.同理,PF2=PQ2.所以PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2.由正圆锥的对称性,Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的平行于母线的线段的长度,与点P的位置无关.由此可知平面与圆锥面的交线是以F1、F2为焦点的椭圆.绿色通道 放置Dandelin双球时,一个在平面的上方,一个在平面的下方,并且与平面及圆锥面均相切.变式训练利用Dandelin双球证明当时,平面与圆锥面的交线是双曲线.证明:如下图所示,当时,平面与圆锥的两部分相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与平面的两个切点分别是F1、F2,与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.在截口上任取一点P,连结PF1、PF2.过P和圆锥的顶点O作母线,分别与两个球相切于Q1、Q2,则PF1=PQ1,PF2=PQ2.所以|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2.由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的平行于母线的线段长,因此Q1Q2的长为定值.由双曲线的定义知,时,平面与圆锥面的交线是双曲线.教材链接如图1.3-25,试观察壁灯的照片,光线由点光源发出,在灯罩的作用下,向上与向下应分别得到两个圆锥形的光束,这两束光线,被墙壁所截得的影子