高中数学第一讲1.2.2绝对值不等式的解法例题与探究新人教选修.docx

1.2.2 绝对值不等式的解法典题精讲【例1】不等式|3x-2|4的解集是（ ）A.x|x2 B.x|x-C.x|x2 D.x|-x4,得3x-24.即x2.所以原不等式的解集为x|x2.方法二：（数形结合法）：画出函数y=|3x-2|=的图象，如下图所示：|3x-2|=4,解得x=2或x=-,|3x-2|4时，x2.原不等式的解集为x|x2.答案：C 绿色通道：本题题型已成为“公式”型的问题，即解不等式时，套用|ax+b|c型的转化方法，进而解之，而数形结合是从函数图象的角度解释不等式，从中可找到适合的x.本题是一道选择题，从解选择题的方法的角度来看，本题还可以用排除法，即比较选择支间范围的差异，从中取值代入不等式验证，然后对选项进行筛选.比如A项与B项对比，取x=3代入不等式可知原不等式成立，因而排除B.依此类推，可选出正确选项.【变式训练】 不等式4|3x-2|8的解集为_.思路解析：本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可.解法一：由4|3x-2|8,得-2x-或2x.原不等式的解集为x|-2x-或2x解法二：由4|3x-2|8,得43x-28或-83x-2-4.解之得2x或-2x-.原不等式的解集为x|2x或-2x-.答案：x|-2x-或2x【例2】不等式|5x-x2|6的解集为（ ）A.x|x3 B.x|-1x2或3x6C.x|-1x6 D.x|2x3思路解析：可以利用|x|a的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形法求结果.方法一：由|5x-x2|6,得|x2-5x|6.-6x2-5x6.-1x2或3x6.原不等式的解集为x|-1x2或3x6方法二：作函数y=x2-5x的图象. |x2-5x|6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自变量的集合.解方程x2-5x=6,得x1=-1,x2=6.x2-5x=-6,得x1=2,x2=3.即得到不等式的解集是x|-1x2或3x6.答案：B 绿色通道：利用数形结合，由函数图象求解集，因而图象的画法就显得重要了，对于本题，y=|x2-5x|表示y=x2-5x在x轴之上的部分和y=x2-5x位于x轴下方的图象翻折到x轴上方的部分.求解集时，应看一看函数图象与直线y=6的交点个数问题，然后才能求解.【变式训练】 解不等式|x2-2x|3.解法一：由|x2-2x|3,得-3x2-2x0,且x2-2x-30, 所以x2-2x-30. 解得-1x3. 所以不等式的解集是(-1,3). 解法二：作函数y=x2-2x的图象，|x2-2x|x2-3x-4. 解法一：原不等式等价于x-x2-2x2-3x-4或x-x2-2-3. 解法二：|x-x2-2|=|x2-x+2|, 而x2-x+2=(x-)2+0,|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2,故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4.x-3. 原不等式的解集为x|x-3. 绿色通道：本题形如|f(x)|g(x),我们可以借助形如|ax+b|c的解法转化为f(x)g(x),当然|f(x)|g(x)-g(x)f(x)x2-4. 解法一：（分段讨论法）：当x2-5x+60,即x2或x3时，x2-5x+6x2-4x2. 当x2-5x+60,即2x3时，-(x2-5x+6)x2-4,x2.x不存在.综上，可知原不等式的解集为xx2-4,得x2-5x+6x2-4,即2x2-5x+20或5x10.x2或x2.原不等式的解集为x|x2.【例4】 解不等式|x+1|+|x-1|3.思路分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x+a|+|x+b|的代数式，可以认为是分段函数.解法一：如图，设数轴上与-1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间-1，1上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.-1-x+1-x=3,得x=.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x,x-1+x-(-1)=3.x=. 从数轴上可看到，点A1，B1之间的位点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3. 所以原不等式的解集是(-,-,+). 解法二：当x-1时，原不等式可以化为-（x+1)-(x-1)3,解得：x-. 当-1x1时，原不等式可以化为x+1-(x-1)3,即23.不成立，无解. 当x1时，原不等式可以化为x+1+x-13.所以x. 综上，可知原不等式的解集为x|x-或x. 解法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-30.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3即y=作出函数的图象（如下图）函数的零点是-,. 从图象可知，当x-或x时y0,即|x+1|+|x-1|-30. 所以原不等式的解集为(-,-,+). 绿色通道：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中关键是找到一些特殊的点如A1，B1；第三种解法中，准确画出图象，是y=|x+1|+|x-1|-3的图象，而不是y=|x+1|+|x-1|的，其次函数的零点要找准.这些都是求解集的关键.【变式训练】 解不等式|x+1|+|x-1|1.解：由原不等式，得解集为.问题探究问题：汽车沿道路AE行驶，AE是由AB（长10 km），BC（长5 km），CD（长5 km),DE（长6 km）组成，根据时刻表，汽车于9时从A处出发，经过B、C、D等处的时刻分别是时，时，9时，如果汽车以匀速v行驶，为了使它经过B、C、D等处的时刻与汽车时刻表的差的绝对值之和，再加上从A到E的行驶时间不超过51.7分钟，那么汽车行驶的速度v应是怎样的？导思：绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，要等价转化，需要先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论。将整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，是解决分类问题的实质.探究：由题设可知|+|+|-|+.设m=,则|2m-|+|3m-|+|4m-|+m.(1)当m时，不等式为-2m+-3m+-4m+m,得m