电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第二章习题解答.pdf

第二章第二章 习题解答习题解答 2 1 两点电荷 q1 8 C 位于 x 轴上 x 4 处 q2 4 C 位于 y 轴上 y 4 处 求 z 轴上 点 0 0 4 处的电场强度 解 方法 1 由 216 1 44 0 3 10 1 3 10 1 xz R q R q a ar rRE 111 232 1 44 0 3 20 2 23 20 2 yz R q R q a ar rRE 22 得 232 1 0 21zyx aa 2aEEE 方法 2 216 1 244 0 2 10 1 12 10 1 xzxzR R q R q a aa aaE1 232 1 44 0 2 20 2 22 20 2 yzyzR R q R q a aa aaE2 232 1 0 21zyx aa 2aEEE 2 5 试求半径为 a 带电量为 Q 的均匀带电球体的电场 解 以带电球体的球心为球心 以 r 为半径 作一高斯面 由高斯定理 S D dS urr Q 及DE urur 得 r a 时 由 S D dS urr 3 3 4 4 3 3 Q r a 得 3 4 r a Qr D a ur 3 0 4 r a Qr E a ur r a 时 由 S D dS urr Q 得 2 4 r a Q D r ur 2 0 4 r a Q E r ur 空气 a b 2 6 两无限长的同轴圆柱体 半径分别为 a 和 b ab 区域内的电场强度等于零 则 1 S 和 2 S 应满足什么 关系 解 以圆柱的轴为轴做一个半径为 r 的圆柱高斯面 由高斯定理 S D dS urr q 及DE urur 得 当 0 r a 时 由 S D dS urr q 0 得 D ur 0 E ur 0 当 ar b 时 由 S D dS urr q 得Dr l 2 ur 1 S a l 2 D ur 1 S r a a r uu r 1 0 S r a Ea r uruu r 当 bb 的区域外电场强度为 0 即 E ur 12 0 ss r ab a r uu r 0 得 1 S 2 s b a 2 10 电场中有一半径为 a 的圆柱体 已知圆柱内 外的电位为 ar 0 ar r a rA cos 2 1 求圆柱体内 外的电场强度 2 这个圆柱是由什么材料制成的 表面有电荷吗 解 1 时 ar 0E ar时 1 Eaa r rr 22 22 1cos1sinaa r aa AA rr 2 该圆柱体为等位体 所以由导体制成的 其表面有电荷分布 电荷面密度为 200 2cosDnE a Sr r ar a A 2 12 设z 0 为两电介质的分界面 在z 0 的区域 1 中充满相对介电常数为 r1 2 的介质 而在z 0 的区域 2 中充满相对介电常数为 r2 3 的介质 已知区域 1 中的电通量密度为 D1 ax2y ay2x az 2 z 我们能求出区域 2 中哪些地方的 E2和D2 能求出 2 中任意点处的E2和 D2吗 解 设在区域 2 中 2222 0 0 0 0 xxyyzz D x ya Dx ya Dx ya Dx y r rrr 22 2 020 0 3 r DD E x y rr r 在 Z 0 时 由 21 0 z aDD rr r 21 0atEE和 r r r 可得 2 0 2 z Dx y 1 22 00 0 0 22 32 xxyyxy a Dx ya Dx yayax rrr r 2 由 1 和 2 解得 2 0 3 x Dx yy 2 0 3 y Dx yx 2 0 2 z Dx y 所以 2 0 332 xyz D x yayaxa r rrr 2 2 020 33 0 3 xyz r ayaxa D Ex y 2 rrrr r 故不能求出区域 2 中任一点处的 2 E r 和 2 D r 2 15 同轴电容器内导体半径为 a 外导体内直径为 b 在 a r b 部分填充介电常数为 的电介质 求 1 单位长度的电容 2 若a 5 mm b 10 mm b 8 mm 内外导体间所加电压为 10 000 V 介 质的相对介电常数为 r 5 空气的击穿场强为 3 106 V m 介质的击穿场强为 20 106 V m 问电介质是否会被击穿 解 1 设单位长度的电荷量为 l 外加电压为 U 由高斯定理和电通量密度的法向量在两 种媒介分界面上连续的条件可得 1 2 l Ea r r 和 2 0 2 l Ea r r 由于 12 bb ab E dE dU rr rr 整理得 0 2 1 1 lnln l U bb ab 所以 0 2 1 1 lnln l C bb U ab 2 1 2 l E lnln r U bb ab 2 0 2 l E 1 lnln r U bb ab 当a 时 最大 1 E 6 1max 1 26 10 V mE 由于小于介质的击穿场强 所以电介质不会被击穿 1max E 当 b 时 最大 2 E 6 2max 3 94 10 V mE 因为大于空气的击穿场强 故空气介质被击穿 2 E 空气击穿后 电介质承受全部电压 由 得 1 b a E dU r r ln 2 l b U a 所以 2 ln l U b a 当a 时 1 E最大 6 1max 4 2 10 V m 2 ln l U E ba a a 由于小于介质的击穿场强 所以电介质不会被击穿 1max E 2 17 一个有两层介质 1 2 的平行板电容器 两种介质的电导率分别为 1 和 2 电 容器极板的面积为 S 当外加压力为 U 时 求 电容器的电场强度 两种介质分界面上表面的自由电荷密 度 电容器的漏电导 当满足参数是 1221 问 G C C 为电容器电容 解 1 由 1122 EEddU 1n2n JJ 即 12 JJ 得 2 1 2112 U E dd 1 2 2112 U E dd 2 两介质分界面的法线由 1 指向 2 由 2211s EE 得 s 21 2112 U dd 12 2112 U dd 3 由 11 I JE S 知 1 I S 2 2112 U dd G I U 12 2112 S dd 4 1 D SQ C UU 12 2112 S dd 当满足参数是 1221 有 G C 1 1 I O a h 2 18 半球形电极位置靠近一直而深的陡壁 如图题 2 18 所示 若a 0 3 m h 10 m 土 壤的电导率 10 2 S m 求接地电阻 解 设有另一镜像半球如上图所示 需求解问题可以利用无限大平面的