高中数学第三章3.2.3直线与平面的夹角课堂导学案新人教选修.docx

3.2.3 直线与平面的夹角课堂导学三点剖析一、最小角定理的应用【例1】 已知四棱锥P-ABCD（如右图），底面是边长为2的正方形.侧 棱PA底面ABCD，PA=a,M、N分别为AD、BC的中点，MQPD于Q.(1)直线PC与平面PBA所成角的正弦值为.求PA的长；(2)PA=2,求PM与平面PCD所成角的正弦值.解：(1)=（2，2，-a），平面PBA的一个法向量为n=(0,1,0).直线PC与平面PBA所成角的正弦值为，|cos,n|=,即a=2,即PA=2.(2)=（0，1，-2），=（0，-2，2），（2，0，0）.设平面PCD的法向量为n=(x,y,1),则解得n=(0,1,1).cos,n=.PM与平面PCD所成角的正弦值为.温馨提示 最小角定理的应用注意形式，1,2所处的位置.二、利用三垂线定理求线面角【例2】 如右图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.(1)证明：PA平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值. (1)证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点.在PAC中,EO是中位线,PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB.所以,PA平面EDB.(2)解：作EFDC交DC于F.连结BF.设正方形ABCD的边长为a,PD底面ABCD,PDDC.EFPD,F为DC的中点.EF底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.在RtBCF中,BF=.EF=PD=,在RtEFB中,tanEBF=,则BE与面ABCD所成角的正切值为.温馨提示 解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷.三、利用向量求线面角【例3】 如右图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1AB=21,E、F分别为面A1C1和面BC1的中心.求（1）异面直线CE与AF所成的角；（2）A1F与平面BCC1B1所成的角；解：如右图，以D为原点，DA为Ox轴正方向，DC为Oy轴正方向，DD1为Oz轴正方向建立空间直角坐标系.A1AAB=21,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（1，1，4），F（1，2，2），A1（2，0，4），B1（2，2，4），=（1，-1，4），=（-1，2，2），=（-1，2，-2），=（-1，0，-2），=（0，0，-4），=（1，1，-4）.(1)设异面直线CE和AF所成的角为,则 cos=arccos,此即异面直线CE和AF所成的角. (2)A1B1平面BCC1B1，A1F与平面BCC1B1，所成的角为A1FB1（设为）.则cos=.=arccos.此即为A1F与平面BCC1B1所成的角.温馨提示 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.各个击破类题演练 1 PA、PB、PC从P引出三条射线每两条的夹角都是，则直线PC与面PAB所成角的余弦值为多少？解析：设点C在面PAB上的射影为H，则HPA=30=2,APC=60,1=CPH即为所求的线面角，有cos1cos2=cos，得cos1=.变式提升 1 面垂直面,交线为CD，ACD,AP,DAP=30,QA,DAQ=30,求PAQ的大小.解析：过P作PMCD,则PM,即PAM为直线AP与所成的角，设PAM=1,MAQ=2,PAQ=,有cos=cos1cos2，即cos=cos30cos30=,得=PAQ=arccos.类题演练 2 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90,侧棱AA1=AC=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求AB与平面ABD所成角的大小.解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连结EF、FC，因为D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC平面ABC，所以CDEF为矩形.连结DF,G是ADB的重心,EF=1,FD=3,ED=2,EG=,则FC=ED=,BE=,则sinEBG=,所求的角为arcsin.变式提升 2 如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上,AM=MB=MN.若ACB=60,求NB与平面ABC所成角的余弦值.解:RtCNARtCNB,AC=BC,又已知ACB=60,因此,ABC为正三角形.RtANBRtCNB.NC=NA=NB,因此,N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,NBH为NB与平面ABC所成的角.在RtNHB中,cosNBH=.类题演练 3 如右图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证:PBDM;(2)求CD与平面ADMN所成的角.解:如右图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz,设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，,1），D（0，2，0）.(1）=（2，0，-2）（1，-，1）=0，PBDM.(2)=（2，0，-2）（0，2，0）=0，PBAD，又因为PBDM，PB平面ADMN.PB，DC的余角即是CD与平面ADMN所成的角.cos，=.CD与平面ADMN所成的角为arcsin.变式提升 3 如右图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,