高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理成长学案.docx

一 平行线等分线段定理主动成长夯基达标1.等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形思路解析:连结梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的邻边相等，由此可以断定此四边形必为菱形.答案：B2.如图1-1-14，ABCDEF，AF、BE相交于O，若AO =OD =DF，BE =10 cm，则BO的长为（）图1-1-14A.B.5 cmC.D.3cm思路解析:根据ABCDEF和AO =OD =DF，有BO =OC =CE，所以.答案：A图1-1-153.如图1-1-15,已知ADEFBC，E是AB的中点，则DG = ,CH = ,AE = ,CF = .思路解析:利用ADEFBC和E是AB的中点，根据平行线等分线87段定理，可得G、H、F分别是BD、AC、DC的中点，由此即得结论.答案：BGAHBEDF4.如图1-1-16,在ABC中，E是AB的中点，EFBD，EGAC交BD于G， ，若EG =5cm，则AC = ；若BD =20cm，则EF = .图1-1-16思路解析:由E是AB的中点，EFBD，可得F是AD的中点，结合CD = AD，可以得到F、D是AC的三等分点，又由EGAC，可得EG等于AD的一半，FD =EG，由此可得两个结论.答案：15 cm10 cm图1-1-175.如图1-1-17，AB =AC,ADBC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DNCP.若AB =6cm，则AP =;若PM =1 cm，则PC = .图1-1-18思路解析:由AB =AC和ADBC，结合等腰三角形的性质，有D是BC的中点，再由DNCP，可得N是BP的中点，P是AN的中点，由此，AP =,PM =.答案：2 cm4 cm6.如图1-1-18，已知ACAB于A，DBAB于B,OC =OD,连结OA、OB.求证:OA =OB.图1-1-19思路分析:作OEAB于E，可得一组平行线，利用O是CD的中点，得到E是AB的中点，结合线段垂直平分线的性质就有本题的结论.证明:作OEAB于E.ACAB,DBAB,ACOEDB.O是DC中点,E是AB中点.OA =OB.7.如图1-1-19，已知ACB =90,AC =BC,CE =CF，EMAF，CNAF.求证:MN =NB.图1-1-20思路分析:由已知易得ME与NC平行，所以要说明MN =NB，只要点C是一条线段的中点即可，由此启发我们作辅助线CP.证明:延长ME交BC的延长线于P，由已知可得，RtEPCRtFAC.PC=CB.又EMAF，CNAF,PMCN.又C是BP的中点,N是MB的中点.MN =NB.8.已知线段AB，求作AB的五等分点.图1-1-21思路分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等份的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等份了.作法：(1)如图，作射线AM；(2)在射线AM上截取AA1A1A2A2A3A3A4A4A5;(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.9.梯形ABCD中，ADBC，DCBC，B = 60，AB =BC，E为AB的中点.求证:ECD为等边三角形.思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.证明:连结AC，过点E作EFAD交DC于F.梯形ABCD,ADBC.ADEFBC.又E是AB的中点，F是DC的中点（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）.DCBC,EFDC.ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.EDC为等腰三角形.AB =BC,B =60,ABC是等边三角形.ACB =60.又E是AB边中点,CE平分ACB.1=2=30.DEF=30.DEC=60.又ED=EC,DEC为等边三角形.走近高考10.如图1-1-22,已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED,DC的延长线交BE于F.求证:EF =BF. 图1-1-22思路分析:在EAB中,OFAB,要说明EF=BF,只要说明O是AE的中点,而O是平行四边形对角线的交点,根据平行四边形对角线互相平分,可以知道O是AE的中点,于是问题得证.证明:连结AE交DC于O,四边形ACED是平行四边形,O是AE的中点(平行四边形对角线互相平分).四边形ABCD是梯形,DCAB.在EAB中,OFAB,又O是AE的中点,F是EB的中点.EF =BF.11.已知直线l1l2l3，任作两直线m、n，分别交l1、l2、l3于点A、B、C和D、E、F,如图1-1-23所示.图1-1-23图1-1-24图1-1-25(1)分别量出线段AB、AC、DE、DF的长,观察结论，你有什么发现？(2)把直线n沿DA方向平移到A点，得到直线n，分别与直线l2、l3交于E、F，如图1-1-24，观察ABE与ACF，你有什么发现？说出你的猜测，并验证.(3)如图1-1-24，若继续把直线n平移使其经过B点，分别与直线l1、l3交于D、F，结果如何？(4)利用你的发现，判断图1-1-25中的相似三角形有几对？思路分析:对于线段的关系，尤其是四条线段的关系，很有可能是成比例，但要通过验证才能确定.而两个三角形在大小不一的情况下，又有了成比例的线段，就可以联想到两个三角形相似.要判断最后一个图形中有几对相似三角形，就要设法把图形分离出（2）（3）中的基本图形.解:（1）通过测量可得AB =1.5 cm,AC =4 cm,DE =1.15cm,DF =3.1 cm,观察且计算可发现= =0.375, =0.371，由于作图和测量都会有一定的误差，因此可以确定有=.（2）ABEACF，由于AF是由DF平移而来的，由平移的特征可得AE