高中数学第二章2.3.2抛物线的几何性质课后导练新人教选修.docx

2.3.2 抛物线的几何性质课后导练基础达标1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析：直线y=kx-k过点（1,0），点（1，0）在抛物线y2=2px的内部，当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点.答案：C2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则()A.通径长为8，AOB的面积为4B.通径长为-4，AOB的面积为2C.通径长为4，AOB的面积为4D.通径长为4，AOB的面积为2解析：抛物线x2=-4y,2p=4,即通径长为4，AOB的面积为2p=41=2.答案：D3.过点(0，-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则AB等于()A.2B.C.2D.解析：设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1)、B(x2,y2).由得k2x2-4(k+2)x+4=0.直线与抛物线交于A、B两点，=16(k+2)2-16k20,即k-1.又k=2或k=-1(舍).AB=x1-x2答案：C4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2解析：抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组A、B两点的坐标分别为（2p,2p）和(2p,-2p).AB=4p.SAOB=4p2p=4p2.答案：B5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析：由抛物线y2=8x的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2.代入y2=8x,得（x-2）2=8x,即x2-12x+4=0. x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.答案：B6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析：由题可知抛物线y2=8x的准线过（-2，0）,故过此点的直线l:y=k(x+2).将直线方程代入抛物线方程可得k2(x+2)2=8x,化简得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有公共点，即上述方程有解且解都大于或等于0.当k=0时，x=0成立；当k0时，解得-1k1且k0.综上所述，故-1k1.答案：-1k17.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是_.解析：点（x,y）在抛物线y2=4x上，x0.z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,当x=0时，z最小，其值为3.答案：38.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB=4，则焦点到AB的距离为.解析：不妨设A（x,2），则（2）2=4x.x=3.AB的方程为x=3,抛物线的焦点为（1，0）.焦点到准线的距离为2.答案：29.已知抛物线y2=6x,过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.解法一：设直线上任意一点坐标为（x,y），弦的两个端点为P1（x1,y1）、P2(x2,y2).P1、P2在抛物线上，y21=6x1,y22=6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).y1+y2=2,代入得k=直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.解法二：设所求方程为y-1=k(x-4).由方程组得ky2-6y-24k+6=0.设弦的两端点P1、P2的坐标分别是（x1,y1）(x2,y2)，则y1+y2=.P1P2的中点为（4，1），=2.k=3.所求直线方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.10.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.证明直线AC经过原点O.证明：抛物线的焦点为F（,0）,经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，y1y2=-p2.BCx轴，且点C在准线x=-上，点C的坐标为（-,y2）.直线OC的斜率为k=即k也是直线OA的斜率.直线AC经过原点O.综合运用11.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点，若AB=2，OC的斜率为，求随圆的方程.解法一：设A（x1、y1）、B(x2,y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.而代入上式可得b=a.再由AB=x2-x1=2,其中x1、x2是方程（a+b）x2-2bx+b-1=0的两根.故将b=a代入得a=,b=,所求椭圆的方程是x2+y2=312.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.(1)求证：“如果直线l过点T(3，0)，那么=3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=2t,y1y2=-6,=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2=-6t2+3t2t+9-6=3.=3,故为真命题.（2）（1）中命题的逆命题是：若=3,则直线l过点（3，0）,逆命题是假命题.设l:x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2b.=x1x2-y1y2=(ty1+b)(ty2+b)-y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt2t+b2-2b=b2-2b,令b2-2b=3,得b=3或b=-1.此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.故逆命题为假命题.拓展探究13.已知椭圆C1：=1,抛物线C2：(y-m)2=2px(p0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(1)当ABx轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(2)若p=且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.解：（1）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称.所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）.因为点A在抛物线上，所以=2p,即p=.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.（2）当C2的焦点在AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).由消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0设A、B的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2),则x1、x2是方程的两根，x1+x2=.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以AB=（2-x1）+(2-x2)=4-(x1+x2),且