高中数学第二章2.5.1平面几何中的向量方法课堂导学案.docx

2.5.1 平面几何中的向量方法课堂导学三点剖析1.用向量方法解决简单的平面几何问题【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a，=b，则=a-b, =a+b.而|=|a-b|=,|2=5-2ab=4.又|2=|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=1+4+2ab.由得2ab=1,|2=6,|=,即AC=.温馨提示(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽说任意两个不共线的向量都可以做基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂.(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可考虑向量法.(3)在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.2.向量坐标运算的应用【例2】如右图已知四边形ABCD是正方形，BEAC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.求证：=.思路分析：可以建立直角坐标系，要证明|=|，只要求出A与E、F点的坐标即可.证明：如题图，以正方形ABCD的CD所在直线为x轴,以C点为原点建立直角坐标系.设正方形的边长为1,则A、B的坐标分别为（-1，1），（0，1）若E点的坐标为（x,y），则=（x,y-1）,=(1,-1).,即x+y=1又|=|.x2+y2=2.由得E点的坐标为（，）.如果设F点的坐标为（x,1），由=（x,1）与=（，）共线，得x-=0，解得x=-(2+)，即点F的坐标为（-2-，1）.=(-1-,0),=(,).|=1+=|.即AF=AE.温馨提示 由于向量同时具备数、形的特点，能够顺利实现形、数的相互转化，因此在解决几何问题时常常能够化严格的逻辑推理为简单的计算.特别是在触及线段的平行或垂直问题时，向量便更有用武之地了.3.将平面几何问题转化为向量问题【例3】如下图三角形ABC是等腰直角三角形，B=90,D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连结DF，求证：ADB=FDC.思路分析：建立适当的坐标系，利用向量平行和垂直的条件及向量的数量积，转化为证明两向量的夹角相等.解析：如题图，建立直角坐标系，设A（2，0），C（0，2），则D（0，1），于是=（-2，1），=（-2，2），设F（x,y）,由，得=0，即（x,y）(-2,1)=0,-2x+y=0.又F点在AC上，则.而=（-x,2-y）,因此2（-x）-(-2)(2-y)=0,即x+y=2.由式解得x=,y=,F(,),=(,),=(0,1)=,又=|cos=cos,cos=,即cosFDC=,又cosADB=,cosADB=cosFDC,故ADB=FDC.温馨提示 在解题中要注意题目的隐含条件.如本题中点F满足的关系除了BFAD,还有F点在AC上.点在直线上问题往往转化成两向量共线，利用两向量共线的条件求解.各个击破类题演练1用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证明：如右图，设四边形ABCD的对角线AC、BD交于O点且互相平分（即=，=）则=+=+=+=因此，且|=|因此四边形ABCD为平行四边形.变式提升1如右图，平行四边形OACB中，BD=DC，OD与BA相交于点E，求证：BE=BA.解析：设E是线段BA上的一点，且使BE=BA,只要证E，E重合即可.设=a，=b，则=a，=+=b+a，=-b, =a-又3=3(-b)=a-=(a+3b)=(b+a)=O、E、D三点共线.E、E重合，BE=BA.类题演练2如果正方形OABC的边长为1，点D、E分别是AB、BC的中点，试求cosDOE的值.解：分别以OA、OC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则D（1，），E（，1），=（1，），=（，1）.cosDOE=变式提升2如右图P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：（1）PA=EF；（2）PAEF.证明：建立如上图所示的坐标系，设正方形的边长为1，|=，则A（0，1），P（，），E（1，），F（，0），=（-，1-），=（-1，-）.（1）|2=（-）2+（1-）2=2-+1，|2=（-1）2+（-）2=2-+1，|2=|2，故PA=EF.(2)=（-）（-1）+（1-）(-)=0,即PAEF.类题演练3已知直角ABC,C=90，设AC=m，BC=n，（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB；（2）若E为CD的中点，连结AE并延长交BC于F.求AF的长度（用m,n表示）.解：以C为坐标原点，以边CB、CA所在的直线为x轴,y轴建立坐标系，如右图所示，A（0,m）,B(n,0).(1)D为AB的中点，D（n2，m2），|=.|=|，即CD=AB.(2)E为CD的中点，所以E（,）,设F（x,0），则=（，-m），=（x,-m）.A、E、F共线，=，即（x,-m)=(,-m)即x=,即F（，0）.|=.变式提升3如右图在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值.解：设=e1，=e