高中数学第二章函数概念与I2.1函数的概念2.1.1函数的概念名师导航学案.docx

2.1 函数的概念和图象2.1.1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，xA. 其中x叫_，x的取值范围A叫做函数y=f(x)的_；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA(B)叫做函数y=f(x)的_. 函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数_.(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f:AB，这里A,B为_的数集.(2)A：定义域； f(x)|xA：值域,其中f(x)|xA_B； f：对应法则，xA，yB.(3)函数符号：y=f(x)y是x的函数，简记f(x).2.已学函数的定义域和值域(1)一次函数f(x)=ax+b(a0):定义域为_,值域为_;(2)反比例函数f(x)=(k0):定义域为_,值域为_;(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0):定义域为_， 值域：当a0时，为_；当a-1且x1，所以这个函数的定义域为x|x-1且x1.例3 求下列函数的值域：(1)y=x2-2x-1，x0，3；(2)y=+3；(3)y=；(4)y=|x-1|+|x-2|.思路解析 求二次函数的值域一般要数形结合，先配方找出对称轴，再考察给定区间与对称轴的关系，利用二次函数在对称轴两侧的单调性，求出给定区间上的最大值和最小值，即可得到函数的值域.除数形结合之外，求函数的值域的方法还有逐步求解法、判别式法、分离常数法和利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解答：(1)将原式变形，得y=(x-1)2-2，此函数的对称轴为x=1，由于x0，3，当x=1时，y有最小值-2.根据函数的对称性知，x=3比x=1的值要大，当x=3时，y有最大值2.这个函数的值域为-2，2.(2)易知x2，0.y=+33.这个函数的值域为3，+.(逐步求解法)(3)先分离常数，y=. 解法一：(逐步求解法)x2+11，01.11-2.y-2，1).解法二：(判别式法)两边同乘以x2+1并移项，得(y-1)x2+y+2=0，又由可知y1，=-4(y-1)(y+2)0.y-2，1).解法三：(利用有界性)y1，易得x2=.又x20，0.y-2，1).(4)原函数可化为y=由下图可知y1，+).例4 下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y与x的函数关系式；(2)求f(-3)、f(1)的值；(3)若f(x)=16，求x的值；思路解析 本题是一个分段函数问题，当输入值x1时，先将输入值x加2再平方得输出值y；当输入值x1时，则先将输入值x平方再加2得输出值y.解答：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11；f(1)=(1+2)2=9.(3)若x1，则(x+2)2=16，解得x=2或x=-6(舍).若x1，则x2+2=16，解得x=(舍)或x=-.综上可得x=2或x=-.例5 已知函数y=f(2x-1)的定义域为-1，1，求函数y=f(x-2)的定义域.思路解析 求函数y=f(x-2)的定义域，是求式子x-2中x的范围.这里决不能将前后两个x看成是相等的量，但是2x-1与x-2都是对应法则f的作用对象，因此，这两个代数式的范围是一致的.解答：设t=2x-1，-1x1，-32x-11，即函数y=f(t)的定义域为t-3，1.再设x-2=t，则-3x-21，-1x3.函数y=f(x-2)的定义域为-1，3.知识导学1.函数的三要素 构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B. 其中核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键，对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.2.函数的图象 所谓函数y=f(x)的图象，就是将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为(x0，f(x0)|xA，即(x，y)|y=f(x)，xA，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象. 函数的图象是数形结合应用的典范. 函数图象是函数关系的一种表示方法，它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数关系、性质的重要工具. 函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题，即对函数的图象有三点要求：(1)会画各种简单函数的图象；(2)能以函数的图象识别相应函数的性质；(3)能用数形结合思想以图辅助解题.疑难导析1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)=x，与f(x)=x2是同一个函数.2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径. 函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.问题导思 关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发. 初中阶段学习的函数的概念的优点是直观、生动. 高中阶段学习的函数的概念的优点：更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数： 现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.事实上，在判断两个函数是不是同一个函数时，只要定义域和对应法则相同，则必为同一函数，还有一点，如果三者中有一个不同，则必不是同一函数. 根据这组函数图象可得到如下结论：(1)函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称；(2)函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称；(3)函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点(0，0)对称；(4)函数y=f(|x|)=即在y轴上及其右侧的图象与函数y=f(x)的图象相同，再将y轴右侧的图象作关于y轴的对称图象可得x0时的图象；(5)函数y=|f(x)|= 即在x轴上及其上方的图象与函数y=f(x)的图象相同，再将x轴下方的图象作关于x轴的对称图象可得f(x)0时的图象；(6)函数y=f(x1)的图象是将y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的；(7)函数y=f(x)1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的. 在函数图象平移时，记住一个口诀：“平移变换，左加右减.”左是往左平移，指的是图象往左平移几个单位，则函数解析式的自变量要加几个单位；右是往右平移，指的是图象往右平移几个单位，解析式的自变量要减去几个单位.典题导考绿色通道 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.若判断两个函数不是同一个函数，只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数.典题变式 下列四对函数中表示同一函数的是( )A.f(x)=x，g(x)=()2 B.f(x)=x，g(x)=C.f(x)=x，g(x)= D.f(x)=，g(x)=x+2答案:C绿色通道 一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：(1)解析式是整式的函数，其定义域为R；(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使函数解析式有意义的实数的集合；(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，后解不等式(组)，而后得出结论.典题变式 已知函数f(x)=的定义域为F，g(x)=的定义域为G，那么集合F、G的关系是( )A.F=G B.FG C.GF D.FG=G答案:C绿色通道 求值域一定要注意定义域的限制，一定要在定义域的范围内求函数的值域.当然，求值域一定要根据函数的对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题的关键，求这类问题就能得心应手.典题变式1.函数y=的值域为_.答案:1，+)2.求下列函数的值域:(1)y=；(2)y=2x-；(3)y=；(4)y=|x+1|+|x-2|.答案:(1)0,3；(2)y|y；(3)R；(4)3,+）.3.设A=1,b(b0)，函数f(x)=(x-1)2+1，当xA时，f(x)的值域也是A，试求b的值.答案:b=3.绿色通道 通过实例，了解简单的分段函数并能简单应用是新课程标准的基本要求.对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解.但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内.典题变式1.已知函数y=f(x)满足f(0)=1，f(x)=xf(x-1)(xN*)，则f(4)的值为( )A.4 B.12 C.24 D.32答案:C2.已知函数y=求ff()的值.答案:ff()=.绿色通道 本题是已知复合函数的定义域求另一个复合函数的定义域问题.解决这类问题