高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性学习导航学案.docx

2.1.3 函数的单调性自主整理函数的单调性(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA.如果取区间M内的任意两个值x1,x2,则当改变量x=x2-x10时,有y=f(x2)-f(x1)0,那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图2-1-12.图2-1-12当改变量x=x2-x10时,有y=f(x2)-f(x1)0;作差y=f(x2)-f(x1);变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分母有理化、通分等);定号(即判断y的正负);下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).(3)在公共定义域内:增函数f(x)+增函数g(x)是增函数;减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数f(x)-减函数g(x)是增函数;减函数f(x)-增函数g(x)是减函数.高手笔记1.有的函数在整个定义域内具有单调性:有的函数在定义域的某个子集上具有单调性;但也有的函数没有单调区间,或者它的定义域上根本没有单调区间.2.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征:一是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意”取x1、x2,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有大小,通常规定x1x2.三者缺一不可.3.利用函数的单调性的定义比较大小,一方面是正向应用,即若f(x)在给定的区间上是增函数,当x1x2时,f(x1)x2时,f(x1)f(x2);另一方面是逆向应用,即若f(x)在给定的区间上是增函数,当f(x1)f(x2)时x1f(x2)时x1x2.当f(x)是减函数时类同.4.利用函数单调性判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).5.记忆口诀:增函数,减函数,函数作差要记住;正号增,负号减,增减函数很简单;往上增,往下减,增减趋势正相反.名师解惑1.对于函数单调性的理解应注意什么?剖析:对于函数单调性的理解,要注意以下几点:(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,可以是整个定义域,也可以是定义域的某个区间.(2)函数f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数f(x)在这个区间上函数值的总体变化趋势,是函数在这个区间上的整体性质.(3)函数的单调性是对于某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如果函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子集上也是单调的;但是如果函数在某几个区间上具有相同的单调性,在这几个区间的并集上则不一定具有单调性.2.判断或证明函数在某区间上的单调性一定要用定义吗？函数单调性的判定方法主要有哪些呢?剖析:(1)一般来说,证明或判断函数的单调性,严格地说必须用增、减函数定义,其步骤是:设出指定区间上的任意两个值作差变形判符号定结论.但对于求解选择、填空之类的不要求解过程的问题,能结合图象快速指出单调区间,当然也是可行的.但根据函数图象判断函数单调性,必须按照作函数图象的步骤准确画出函数图象,特别要弄清楚由上升到下降和由下降到上升的关键点的横坐标,才能写出其单调区间,如果一个函数有两个单调递增区间,应写成(-,-1),1,+)或(-,-1)和1,+)等形式,但不能写成(-,-1)1,+)的形式.(2)判断函数单调性的方法是本节的重点,常用的方法有:定义法:利用定义严格判断.图象法:根据函数图象直观判断.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.多了解几点结论,对于直接判断函数的单调性更有好处,如:函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;当y=f(x)恒为负时,函数y=与y=f(x)的单调性相反;在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等.y=f(x)与y=kf(x)(k0),当k0时,增减性相同,当k0时,增减性相反.3.如何求函数在某闭区间上的最值?剖析:如果函数y=f(x)在闭区间a,b上具有单调性,那么它在这个区间上必取得最大值和最小值.即当f(x)在a,b上递增时,ymax=f(b),ymin=f(a);当f(x)在a,b上递减时,ymax=f(a),ymin=f(b).如果函数y=f(x)在给定的闭区间a,b上不具有单调性,那么也就没有上述确定的结论了,那就要具体问题具体分析了.讲练互动【例题1】求函数y=|x+1|+|x-2|的单调区间,以及在每一个区间上的单调性.分析：本题考查单调区间的判定,在解题时应用数形结合思想,通过图象寻找单调区间.图2-1-14解：将函数化为分段函数形式:y=画出它的图象(图2-1-14),由图象,可知单调递增区间为2,+),单调递减区间为(-,-1.绿色通道(1)函数的单调性是对某个区间而言的,若在某区间,函数值为唯一确定常数时,我们称函数在该区间没有单调性.(对于单独的一点,因为没有增减变化,所以显然不存在单调性问题)(2)对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调,因此在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以;还要注意定义域内不包含的点,不应出现在单调区间里.(3)分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在平时认真对待.变式训练1.已知函数f(x)=x2-5x+6.(1)求其单调区间;(2)用定义法证明其单调性.分析：(1)运用函数图象找单调区间是求解函数单调性的基本方法.对于二次函数,其图象为抛物线.单调区间的界定与对称轴有关;而单调增减性与开口有关.所以考查二次函数问题,一定得两看(看二次项系数,看对称轴).(2)定义作差法是证明函数单调性的一般方法,而有时通过定义作差法也可以直接找出单调区间.解：(1)f(x)=(x)2,它是以(,)为顶点,对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线,如图所示,可得单调区间是(-,与(,+).其中在(-,上是减函数,在(,+)上是增函数.(2)定义法证明如下:任取x1、x2,设x1x2,则f(x1)-f(x2)=x12-x22-5(x1-x2)=(x1+x2-5)(x1-x2).x1x2,x1+x25,x1-x20,即f(x1)f(x2).f(x)=x2-5x+6在(-,上是减函数.类似地,可以证明f(x)在(,+)上是增函数.【例题2】讨论函数f(x)=x+(a0)的单调性.分析：可以先讨论函数在(0,+)上的单调性,然后可类似地讨论在(-,)、,0)、(0,上的单调性.解：x0,下面先讨论f(x)=x+在(0,+)上的单调性.设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)().当0x11,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).故f(x)在(0,上是减函数.当ax1x2时,01,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).故f(x)在,+)上是增函数.同理我们可得f(x)在(-,上是增函数;f(x)在,0)上是减函数.黑色陷阱判断单调性时,我们可以用口诀“同向则增,异向则减”帮助理解.在证明时,化简是必不可少的,不能想当然地认为谁大谁小而直接下结论,一般情况下,我们应该化简到出现因式相乘,或者出现完全平方式为止,然后通过已知条件对符号进行判断.含参数函数单调性的判定,往往对参数要分类讨论.本题的结论十分重要,在一些问题的求解中十分有用,应予重视.变式训练2.讨论函数y=(-1x1)的单调性.分析：此题给出了函数解析式,按照定义去判断单调性即可.由于含有参数a,故要对a进行分类讨论.解：设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=.-1x1x20,x1x2+10,x12-10,x22-10.当a0时,f(x1)0时,f(x1)f(x2),f(x)在(-1,1)上是减函数.当a=0时,f(x)为常数函数,没有单调性.【例题3】判断函数f(x)=的单调性.分析：可把函数的分子拼凑成分母的形式,转化成只在分母中含有变量x的形式,写出它的单调区间.解：原函数可化为f(x)=+1,该函数的定义域为x|x1.显然f(x)的图象是由y=的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位而得到的.由于y=在(-,0)上是减函数,在(0,+)上也是减函数,从而f(x)=在(-,1)上是减函数,在(1,+)上也是减函数.所以函数f(x)=在(-,1)和(1,+)上都是减函数.绿色通道把未知的问题转化为已知的问题,用已知问题的解还原说明未知问题的解,这是学好数学的一种常用方法.解决这种分式函数问题,需掌握“凑分母”化简的方法.变式训练3.函数y=在(-2,+)上单调递增,则实数a的取值范围为.解析：y=a.因原式在(-2,+)上单调递增,设-2x1x2,则.0x1+20,即a1.故实数a的取值范围是(1,+).答案：(1,+)【例题4】已知a1,若函数f(x)=ax2-2x+1在区间1,3上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断函数g(a)在区间,1上的单调性,并求出g(a)的最小值.分析：(1)属于“轴变区间定”问题,需要对对称轴与区间的关系进行讨论.(2)由于g(a)是分段函数,其单调性的判断方法是分别将各个区间上的解析式单独判断,然后再结合各区间的单调性求最小值.解：(1)a1,f(x)的图象为开口向上的抛物线,且对称轴为x=1,3.f(x)有最小值N(a)=f()=1.当23时,a,f(x)有最大值M(a)=f(1)=a-1;当12时,a(,1,f(x)有最大值M(a)=f(3)=9a-5.g(a)=9a-6+,a1.(2)设a10,g(a1)g(a2).g(a)在,上是减函数.设a1a21,则g(a1)-g(a2)=(a1-a2)(9)0,g(a1)1.分析：在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明等具体问题中均可能用到函数的单调性,要充分运用,灵活处理.而一元二次方程的问题,有时往往可以根据需要去判定的符号,从而得到不等式.本题还需运用分离常数法化简分式,要懂得借鉴.解：(1)tR,t-1,=(-c2a)2-16c2=c4a2-16c2=c2(c2a2-16)0.c0,c20.c2a216.|ac|4.(2)由f(x)=,设-1x1x2,则f(x2)-f(x1)=.-1x10,x1+10,x2+10.f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).x-1时,f(x)单调递增.(3)f(x)在x-1时单调递增,|c|0,f(|c|)f()=.f(|a|)+f(|c|)f(|a|)+f()=1,即f(|a|)+f(|c|)1.教材链接探索与研究函数值的改变