高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法课堂探究学案新人教选修.docx

2.1 比较法课堂探究1作差比较法证明不等式的一般步骤剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等(3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断差的正负号(4)结论：根据差的正负号下结论知识拓展 若差式的符号不能确定，一般是与某些字母的取值有关时，则需对这些字母进行讨论2作商比较法中的符号问题的确定剖析：在作商比较法中，1ba是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b0，由1，可得ba，但若a，b0，则由1得出的反而是ba，也就是说，在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断否则，结论可能是错误的名师点拔 使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以1，转化后再进行证明 题型一 利用作差比较法证明不等式【例1】已知a1，求证：.分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明证明：()()0，.反思 根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，都小于0时要改变不等号.题型二 利用作商比较法证明不等式【例2】已知a0，b0，求证：.分析：因为a，b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较证明：，又a2b22ab，1，当且仅当ab0时取等号.反思 作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的大小关系为止在运算过程中注意运用计算技巧.题型三 比较法在综合题目中的应用【例3】已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN)(1)证明数列an1是等比数列；(2)令f(x)a1xa2x2anxn，求函数f(x)在点x1处的导数f(1)，并比较2f(1)与23n213n的大小分析：在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化(1)证明：由已知Sn12Snn5，n2时，Sn2Sn1n4，两式相减，得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)当n1时，S22S115，a1a22a16.又a15，故a211，从而a212(a11)故总有an112(an1)，nN.又a15，a110，从而2，即an1是以a116为首项，2为公比的等比数列(2)解：由(1)可知an32n1.f(x)a1xa2x2anxn，f(x)a12a2xnanxn1.从而f(1)a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(123n)3n2n1(22n)3(n2n12n12)3(n1)2n16.则2f(1)(23n213n)12(n1)2n12(2n2n1)12(n1)2n12(n1)(2n1)12(n1)2n(2n1)(*)当n1时，(*)式0，2f(1)23n213n；当n2时，(*)式120，2f(1)23n213n；当n3时，n10，又2n(11)nCCCC2n22n1，(n1)2n(2n1)0，即(*)式0，从而2f(1)23n213n.反思 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题在数列中，大小问题可能会随“n”变化而变化往往n1,2，前几个