高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性学案.docx

4.11导数与函数的单调性课标解读 1. 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系. 2. 正确理解利用导数判断函数单调性的思想方法，并能灵活运用(重点、难点) 3. 会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)(重点)导数与函数的单调性【问题导思】函数f(x)x22x2的图像如图所示：(1)当x0(，1)时，函数在(x0，f(x0)处的切线斜率f(x0)大于零还是小于零？(2)函数f(x)x22x2在(，1)上的单调性如何？【提示】(1)小于零；(2)是减少的导函数的符号与函数的单调性之间的关系如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是减少的利用导数判断单调性求下列函数的单调区间：(1)f(x)sin xx，x(0，)；(2)f(x)x33x2.【思路探究】先求出函数f(x)的导数，再令导数大于或小于0，解不等式，最后结合导函数的符号与函数的单调性之间的关系来求函数的单调区间【自主解答】(1)f(x)cos x1，x(0，)，cos x(1，1)，f(x)0时，0x2，因此，函数f(x)的增区间为(0，2)；当f(x)0时，x2，因此，函数f(x)的减区间为(，0)和(2，) 1 .若函数的单调区间不止一个，则在写这些区间时，应该用逗号分开或者用“及”、“和”连接，切忌用并集符号或者“或”连接，如本题第(2)小题的递减区间不能写成(，0)(2，) 2 .利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求导数f(x)(3)确定f(x)0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增加的；当f(x)0，得x1，函数f(x)的单调递增区间为(，0)和(1，)；令f(x)0，得0x0，即20，x0，x.令f(x)0，即20，0x2时，求证：x1ln x.【思路探究】可设f(x)x1ln x通过f(x)的单调性证明f(x)0.【自主解答】设f(x)x1ln x(x2)，则f(x)1.x2，f(x)0.当x2，时，f(x)x1ln xf(2)1ln 21ln e0.f(x)0，即x1ln x0，x1ln x(x2) 1 .本题关键是构造函数f(x)，借助函数的单调性来证明不等式 2 .利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)f(x)g(x)(2)求导：F(x)f(x)g(x)(3)判断函数的单调性(4)求F(x)在区间上的最小值为0，证得f(x)g(x)；求F(x)在区间上的最大值为0，证得f(x)g(x). 当x0时，求证ex1x.【解】设函数f(x)ex(1x)，则f(x)ex1，当x0时，exe01，f(x)ex10.故f(x)在(0，)上递增，当x0时，f(x)f(0)又f(0)e0(10)0，f(x)0，即ex(1x)0，故ex1x.求单调区间时忽略定义域范围致误求函数yxln x的单调区间【错解】由导数公式表和求导法则可得y1.当x(，0)或x(1，)时，y0，因此，在这两个区间上，函数是增加的；当x(0，1)时，y0，错解中忽略了函数的定义域而导致结果错误【防范措施】用导数研究函数的单调性时，往往容易忽略函数的定义域，造成所求的单调区间不正确，因此，一定要牢记在函数的定义域内研究函数的性质【正解】函数的定义域为x|x0，由导数公式表和求导法则可得y1.当x(1，)时，y0，因此，在这个区间上，函数是增加的；当x(0，1)时，y0是f(x)递增的充分条件而非必要条件(f(x)0(或f(x)0得ln x1ln ，即x.由1ln x0得0x0，解得x2.【答案】(2，) 4 .求函数f(x)2x36x27的单调区间【解】f(x)6x212x.令6x212x0，解得x2或x0.因此当x(2，)，x(，0)时，f(x)是增加的令6x212x0，解得0x0，f(x)在R上是增加的【答案】A 2 .函数y4x2的递增区间是()A(0，) B(，1)C(，) D(1，)【解析】y8x，令y0，即8x310x.【答案】C 3 .设命题p：f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，q：m，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】f(x)x32x2mx1，f(x)3x24xm.由f(x)为增函数f(x)0在R上恒成立01612m0m，故为充分必要条件故选C.【答案】C 4 .定义在R上的偶函数f(x)的部分图像如图所示，则在(2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()图412Ayx21 By|x|1Cy Dy【解析】利用偶函数的图像关于y轴对称，知f(x)在(2，0)上为减函数，而yx21在(2，0)上为减函数；y|x|1在(2，0)上为减函数；y在(2，0)上为增函数；y在(2，0)上为减函数，故选C.【答案】C 5 .已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，)，) B，C(，)(，) D(，)【解析】f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，由4a2120得a.【答案】B二、填空题 6 .函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_【解析】f(x)3x230x333(x11)(x1)，当f(x)0时，1x0.【答案】(0，) 8 .若函数f(x)ax3x在R上为减函数，则a的取值范围为_【解析】f(x)3ax21，且f(x)在R上为减函数当a0时，f(x)10恒成立；当a0，由得a0，得x2或x0，由6x212x0，得0x2.函数y2x36x211的单调增区间为(，0)和(2，)，单调减区间为(0，2)(2)函数的定义域为x|x0，y.当x0，y0，a0.a的取值范围为a0. 11 .求