数学人教版九年级下册相似的综合复习.doc

相似的综合复习本节考查内容有：1.相似三角形的判定及性质，有单独考查的，还有一种考查形式是与圆的切线、三角形与四边形结合、二次函数等有关证明和计算相结合在一起；2.相似三角形的实际应用，将相似三角形与实际问题结合考查，大多以考查学生对实际问题的理解及将生活问题转化为数学问题的处理能力，这也是中考的一个亮点，常涉及测量问题，中考在选择(填空)题中考查相似三角形的性质与判定，也可能在解答题中考查相似三角形的判定及性质或实际应用1比和比例的有关概念(1)表示两个比相等的式子叫做_比例式_，简称比例(2)第四比例项：若或abcd，那么d叫做a，b，c的_第四比例项_(3)比例中项：若或abbc，那么b叫做a，c的_比例中项_(4)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段_黄金分割_即AC2_ABBC_，AC_AB_0.618_AB.一条线段的黄金分割点有_两_个2比例的基本性质及定理(1)adbc；(2)；(3)(bdn0).3平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成_比例_；(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成_比例_；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成_比例_，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做_相似三角形_相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的_相似比_5相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似6相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方7相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：将实际问题转化为相似三角形的问题；找出一对相似三角形；根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解(2)运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度同一时刻，物高与影长成正比例，有.8射影定理：如图，ABC中，ACB90，CD是斜边AB上的高，则有下列结论(1)AC2ADAB；(2)BC2BDAB；(3)CD2ADBD；(4)AC2BC2ADBD；(5)ABCDACBC.9相似多边形的性质(1)相似多边形对应角_相等_，对应边_成比例_(2)相似多边形周长之比等于_相似比_，面积之比等于_相似比的平方_10位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅_相似_，而且对应顶点的连线相交于_一点_，这样的图形叫做位似图形这个点叫做_位似中心_(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_位似比_(3)利用位似图形将一个图形放大或缩小，其步骤为：确定位似中心；确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点；描出新图形两个注意(1)求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位如果单位不同，那么必须先化成同一单位，且两条线段的比是一个实数，没有单位(2)四条线段成比例与它们的排列顺序有关，线段a，b，c，d成比例表示成，而线段b，a，c，d成比例则表示成.“三点定形”法证明比例式或等积式的方法主要有“三点定形”法：(1)横向定形：欲证，横向观察，比例式中分子的两条线段是AB和BC，三个字母A，B，C恰为ABC的顶点；分母的两条线段是DE和EF，三个字母D，E，F恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEF；(2)纵向定形：欲证，纵向观察，比例式中左边的两条线段AB和BC中的三个字母A，B，C恰为ABC的顶点；右边的两条线段DE和EF中的三个字母D，E，F恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEF；(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常常要用到中间比四个解题技巧判定两个三角形相似的常规思考过程是：(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；(4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形五种基本思路(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或再找夹边成比例(用判定定理2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；练习(5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例1(2012陕西)如图，在ABC中，AD，BE是两条中线，则SEDCSABC( D )A12B23C13 D142(2014陕西)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB1.7米；小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB1.2米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？解：由题意得，BADBCE，ABDCBE90，BADBCE，即，解得BD13.6米答：河宽BD是13.6米3(2013陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB1.25 m已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长(结果精确到0.1 m)解：如图，设CD长为xm，AMEC，CDEC，BNEC，EAMA，MACD，BNCD，ECCDx，ABNACD，即，解得x6.1256.1，所以路灯高CD约为6.1米 相似三角形综合问题【例1】(2014安顺)如图，已知AB是O的直径，BC是O的弦，弦EDAB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PCPG.(1)求证：PC是O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2BFBO.求证：点G是BC的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB10，ED4，求BG的长解：(1)证明：连OC，如图，EDAB，FBGFGB90，又PCPG，12，而2FGB，4FBG，1490，即OCPC，PC是O的切线(2)证明：连OG，如图，BG2BFBO，即BGBOBFBG，而FBGGBO，BGOBFG，OGBBFG90，即OGBG，BGCG，即点G是BC的中点(3)解：连OE，如图，EDAB，FEFD，而AB10，ED4，EF2，OE5，在RtOEF中，OF1，BF514，BG2BFBO，BG2BFBO45，BG2【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用1(2014绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC120 mm，高AD80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长解：(1)设矩形的边长PN2y mm，则PQy mm，由条件可得APNABC，即，解得y，PN2(mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm， mm(2)设PNx mm，由条件可得APNABC，即，解得PQ80x.SPNPQx(80x)x280x(x60)22 400，S的最大值为2 400 mm2，此时PN60 mm，PQ806040(mm)相似三角形的实际应用【例2】我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直已知装饰画的高度AD为0.66米求：(1)装饰画与墙壁的夹角CAD的度数(精确到1)；(2)装饰画顶部到墙壁的距离DC(精确到0.01米)解：AD0.66，AEAD0.33，在RtABE中，sinABE，ABE12，CADDAB90，ABEDAB90，CADABE12.镜框与墙壁的夹角CAD的度数约为12(2)CADABE，ACDAEB90，ACDBEA，CD0.14.镜框顶部到墙壁的距离CD约是0.14米【点评】本题考查相似三角形性质的应用解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题2(2014牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2 m，它的影子BC1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM1.2 m，MN0.8 m，则木竿PQ的长度为_2.3_m.试题如图，在RtABC与RtADC中，ACBADC90，AC，AD2，问：当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？错解在RtADC中，AC，AD2，CD.要使这两个三角形相似，有，AB3.故当AB的长为3时，这两个直角三角形相似剖析(1)此题中，RtABC与RtADC中，ACBADC90，B可能与ACD相等，也可能与CAD相等，三角形ABC与ADC相似可能是A