高中数学第二章2.3.2离散型随机变量的方差学案.docx

2.3.2离散型随机变量的方差学习目标重点、难点1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念2能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题3掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.重点：离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法难点：离散型随机变量的方差的计算与应用.1离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则_描述了xi(i1,2，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)_为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其_为随机变量X的标准差(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于_的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度_(3)离散型随机变量的方差的性质：设a，b为常数，则D(aXb)_.预习交流1(1)随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？(2)已知X的分布列为X1234P0.20.30.10.4则D(X)()A2.7B1.35C1.41D2.14(3)已知随机变量X的方差为D(X)0.5，当2X1时，D()_.2服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)_；(2)若XB(n，p)，则D(X)_.预习交流2若随机变量服从二项分布B，则D()_.答案：1(1)(xiE(X)2(xiE(X)2pi算术平方根(2)均值越小(3)a2D(X)预习交流1：(1)提示：随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差(2)提示：E(X)2.7，D(X)1.41.(3)提示：D()220.52.2(1)p(1p)(2)np(1p)预习交流2：提示：D()92.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、离散型随机变量的方差与性质袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、均值和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b的值思路分析：(1)列出的分布列，根据均值与方差的计算公式求解；(2)根据E()aE()b，D()a2D()，列出关于a，b的方程组，求解即可有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设这3张卡片上的数字之和为.(1)求E()和D()；(2)若X32，求E(X)，D(X)(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率(2)利用离散型随机变量X的方差的性质：当a，b为常数时，随机变量YaXb，则D(Y)D(aXb)a2D(X)，可以简化解答过程，提高解题效率二、离散型随机变量的方差的应用2012年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”，主题是“爱鸟护鸟观鸟，共享自然之美”为更好地保护鄱阳湖候鸟资源，需评测保护区的管理水平现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平思路分析：要比较两个保护区的管理水平，要先比较两个保护区的违规事件的平均次数，然后比较其稳定性，即方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表试对这两名工人的技术水平进行比较.X012PY012P离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定当然不同的情形要求不同，应视情况而定三、两点分布和二项分布的方差某人投弹击中目标的概率为p0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时，击中次数Y的均值和方差思路分析：投弹一次的命中次数X服从两点分布，而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验，击中次数Y服从二项分布一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差正确认识二项分布及其在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，同学们要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程(2)对于二项分布公式E(X)np和D(X)np(1p)要熟练掌握答案：活动与探究1：解：(1)由题意得，的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).故的分布列为01234P所以E()012341.5，D()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(ab)a2D()11，E(ab)aE()b1，及E()1.5，D()2.75，得2.75a211,1.5ab1，解得a2，b2或a2，b4.迁移与应用：解：(1)3张卡片上的数字之和的可能取值为6,9,12.6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(6).9表示取出的3张卡片上2张标有2,1张标有5，则P(9).12表示取出的3张卡片上2张标有5,1张标有2，则P(12).的分布列为6912PE()69127.8.D()(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.(2)X32，E(X)3E()237.8221.4.D(X)9D()3.36930.24.活动与探究2：解：甲保护区内的违规次数Y的数学期望和方差为：E(X)00.310.320.230.21.3，D(X)(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保护区内的违规次数Y的数学期望和方差为：E(Y)00.110.520.41.3，D(Y)(01.3)20.1(11.3)20.5(21.3)20.40.41.因为E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定相对而言，乙保护区的管理较好一些迁移与应用：解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：E(X)0120.7，D(X)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：E(Y)0120.7，D(Y)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.由E(X)E(Y)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定活动与探究3：解：(1)X的分布列为X01P0.20.8E(X)00.210.80.8，D(X)(00.8)20.2(10.8)20.80.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即YB(10,0.8)，E(Y)np100.88，D(Y)100.80.21.6.迁移与应用：解：(1)易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且B，E()62，D()6.(2)由已知30，E()30E()60，D()900D()1 200.1已知X的分布列为X1234P则D(X)的值为()A. B. C. D.2如果X是离散型随机变量，E(X)6，D(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和D(X1)分别是()AE(X1)12，D(X1)1BE(X1)7，D(X1)1CE(X1)12，D(X1)2DE(X1)7，D(X1)23掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上一面是3的次数的均值和方差分别是()A2和5B2和C4和 D.和14已知离散型随机变量的分布列如下：135P0.5m0.2则其方差D()_.5设随机变量服从二项分布，即B(n，p)，且E()3，p，则n_，D()_.答案：1C解析：E(X)1234，D(X)2222.2D解析：E(X1)2E(X)51257，D(X1)4D(X)40.52.3B解析：由题意知变量符合二项分布，掷一