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数列通项公式的求法 实际上 数列的通项公式 是一个数列的第n项 即an 与项数n之间的函数关系 下面我们一起归纳数列通项公式的常用求法 如 1 1 1 1 注 有的数列没有通项公式 如 3 6 e e是无理数 有的数列有多个通项公式 如 一 观察法 又叫猜想法 不完全归纳法 观察数列中各项与其序号间的关系 分解各项中的变化部分与不变部分 再探索各项中变化部分与序号间的关系 从而归纳出构成规律写出通项公式 例1 数列9 99 999 9999 解 变形为 101 1 102 1 103 1 104 1 通项公式为 练习 求数列3 5 9 17 33 解 变形为 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 通项公式为 可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法 注意 用不完全归纳法 只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的 如2 4 8 可归纳成或两个不同的数列 便不同 二 迭加法 又叫加减法 逐加法 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时 就可用迭加法进行消元 例2 求数列 1 3 6 10 15 21 的通项公式 解 两边相加得 练习 4 7 n2 n 4 2 2 求数列3 5 9 17 33 三 迭积法 逐积法 当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时 就可用迭积法进行消元 例3 已知数列中 求通项公式 练习 用迭加法推导等差数列的通项公式 用迭积法推导等比数列的通项公式 四 待定系数法 用待定系数法解题时 常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式 一般地 若数列为等差数列 则或 b 为常数 若数列为等比数列 则 例4 已知数列的前n项和为 若为等差数列 求p与 解 为等差数列 练习 设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和 若c1 2 c2 4 c3 7 c4 12 求通项公式cn 解 设 五 已知数列的前n项和公式 求通项公式法 例5 已知下列两数列的前n项和sn的公式 求的通项公式 1 2 注意 要先分n 1和两种情况分别进行运算 然后验证能否统一 例5 已知下列两数列的前n项和sn的公式 求的通项公式 1 2 解 1 当时由于也适合于此等式 2 当时由于不适合于此等式 六 换元法 或转化法 当给出递推关系求时 主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式 解 令则辅助数列是公比为2的等比数列即 例6 已知数列的递推关系为 且求通项公式 例7 已知数列的递推关系为 且 求通项公式 解 令则数列是
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