数学人教版七年级下册化归思想在一次方程组中的应用.doc

化归思想在一次方程组中的应用教学设计撰稿人童平辉（南雅中学）课 题化归思想在一次方程组中的应用(人教版七年级下)教 学目 标知识与技能：1. 掌握利用参数和设定参数进行化归解决二元或三元一次方程组的问题；2. 掌握利用整体进行化归解决二元一次方程组中的问题。过程与方法：1.通过对化归思想解决一次方程组的问题的探究，向学生渗透化归思想、整体思想，培养学生分析、归纳、知识迁移的能力；2.通过例题及变式，培养学生灵活运用知识的解决能力。情感与态度：1.通过分类探究，让学生领悟化归思想的本质，关注知识的生成、变化的过程，主动探索，用于发现，善于总结，从而培养他们通过现象看本质的辩证唯物主义观点。2.通过穿插引入数学家的故事和数学史，提高学生数学素养，激发学习钻研的兴趣和积极性。教 学重 点难 点重点：1.化归思想在含参方程组中的应用；2.利用整体进行化归解决二元一次方程组的相关问题。难点：化归思想在解决一次方程组问题中的灵活运用。教 学方 法本节课主要采取分类题组变式练习，先由数学家路沙彼得的“烧水问题”引出化归思想，然后通过“方法探究归纳总结变式训练拓展提升”的方法对含参化归和整体化归进行教学.本着先易后难,循序渐进的原则,通过小组探讨,自助学习,展开合作和互动式学习,让学生成为课堂的主人.教学内容与步骤环节一:数学故事 引入化归思想 匈牙利著名数学家路沙彼得曾提出这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,某人回答说：“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放到煤气灶上.”提问者肯定了这一回答；但是,他又追问道：“如果其它的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够多的水,那你又应当怎样去做?”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上.”但是,这一回答并不能使他感到满意.因为,数学家的回答应是这样的：“只有物理学家才会这样做,而数学家们则会倒掉壶中的水,并声称我已把后一问题化归成原先的问题了.”设计意图：课堂伊始通过数学故事加深学生对数学史的了解,激发学习兴趣,引入化归思想,让学生领悟化归思想的本质-将面临的问题转化为已经解决的问题.环节二:热身训练 作好铺垫学生练习: 解方程组 设计意图：通过热身训练,回顾二元一次方程组的解法,温故知新,结合小组探讨，让学生熟练掌握含参数的二元一次方程组的解法，为接下来运用化归解决含参问题做好铺垫。教学思路：让两名同学上台板演，其它同学同时在自己练习本上完成，老师在巡视过程中对个别还没完全掌握的同学进行订正讲解，学生完成后师生一起对上台扮演同学的作答进行评价。环节三:类型一 含参问题的化归例题1.已知关于x,y的方程组 . 分别求出当常数m,n满足什么条件时 （1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无数组解。变式题： 当m为 时，方程组有正整数解。例题2.已知 ，abc0，求的值变式题1.已知，且abc 1 ， 则a_，b_，c_2.已知 ，则=_ 3. 已知 ， 则=_设计意图：通过例题1和相应变式题对含参的二元一次方程组的解的情况和正整数解的问题进行分析解答和归纳，理解利用化归思想将二元一次方程组的问题转化为一次方程的问题，同时通过整数解的问题体会化归前后有别。例题2和相应变式题通过设主元和引入参数的方法将三元问题化归为一元或二元问题来解决，同时通过不同的变式领悟引入参数的方法。教学思路：例题1通过回顾一次方程ax=b的解的三种情况，引导学生通过消元后再分类讨论，变式1消元后对于Y为正整数时8-m是12的正约数要加以引导，采用表格能比较清晰地显示m,8-m,y,x之间的联系，特别要注意强调消元后一次方程有正整数解并不等同于二元一次方程组有正整数解。例题2从解一道三元一次方程组开始，去掉一个方程式后如何用含有a的式子表示b,c，再自然过渡到例题，问题迎刃而解，这里设定b,c为主元，a为参数是思路。例题2设置三道变式题，由易到难，题题递进，步步深入，教学过程要注意引导学生找到前后题之间的联系，进而引导学生找到各种不同类型引入参数的方法和技巧。环节四:类型二 整体化归问题：例题3.已知方程组 ，那么 （1）x+y=_,x-y=_; ， . （2） _ . .变式题已知方程组的解是 ，则方程组 的解是 .设计意图：通过例题的两道小题理解整体加减和整体代入这两种化归技巧，再 通过观察变式找到两个方程组未知数之间的联系，进而将要求解的方程组的解转化为已知方程组的解来表示。同时通过小组探讨，使学生间互相引导，共同完成。教学思路：整体化归是化归中比较难的一部分，教学过程中要注重学生观察力的培养，找到未知和已知的契合点，整体代入、整体加减和整体对照是这一思想的三种典型应用，要及时归纳总结，形成规律性的思维惯性。利用小组讨论，小组间竞争的方法，利于优生带动后进生，再派代表上台讲解，激发学生的学习兴趣和获得成就感。环节五:课堂总结 激励信心本节课内容：1.含参数的化归（化新知识为旧知识） 2.整体化归（化未知为已知） 历史上曾有不少数学家从不同的角度对化归思想进行过论述，法国数学家、哲学家笛卡尔就曾提出过这样的“万能化归模型”：一、把任何问题化归为数学问题；二、把任何数学问题化归为代数问题；三、把任何代数问题化归为方程式的求解。由于方程式的求解被认为是已经解决的问题，因此，在笛卡尔看来，我们可以利用这样的方法去解决各种类型的问题。当然，笛卡尔的这一结论是不正确的，因为任何方法都必然具有一定的局限性。但是笛卡尔的万能化归模型产生了有重要意义的成果，事实上，这就是笛卡尔所赖以建立解析几何的最基本的思想原则。设计意图：课堂总结既是对一节课课堂内容的总结，也是对学生课后继续探索，延续课堂内容的引导，因此除了对课堂知识方法的总结，更要通过学生故事让学生了解相关的数学史，从而激发学生对数学的学科兴趣。板 书设 计学生板书热身训练投影播放灯片教师例题板演教学反思这是一堂二元一次方程组的综合习题提升课，围绕化归思想，从含参化归到整体化归，题目有一定难度，个人从本堂课总结习题提升课主要注意以下几个方面：一、对于围绕数学思想的习题课，思想的体现要明确，如本堂课主要就围绕化未知为已知，化面临的问题为已经解决的问题来展开，找到新旧知识间的联系点；二、习题课既要达到夯实基础的目的，又要在新课基础上有所提升，在提升过程中，可以发挥集体的智慧，采取“小组探讨-学生表述-老师归纳总结”的方式，重视学生探索的思维过程，让学生从不会到领悟再到触类旁通；三、习题课宜采取变式训练