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抛物线及其标准方程 一 温故而知新 我们知道 椭圆 双曲线有共同的几何特征 都可以看作是 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 其中定点不在定直线上 那么 当e 1时 它又是什么曲线 1 平面内一个定点f和一条不经过定点f的定直线 交 的垂直平分线m 3 作线段 于 2 在直线 上任取点h 过点h作 二 活动探究 一 探究一 几何画板观察 探究 当e 1时 即 mf mh 点m的轨迹是什么 探究 点m随着h运动的过程中 总有 即平面内与一个定点f和定直线l距离的点的轨迹是曲线c 我们把这样的一条曲线叫做 探究思考 当e 1时 即 mf mh 点m的轨迹是什么 mf mh 相等 抛物线 m f l e 1 在平面内 与一个定点f和一条不经过点f的定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线 定点f叫抛物线的焦点 定直线l叫抛物线的准线 准线 焦点 二 抛物线的定义 mf d 课题 抛物线的标准方程和几何性质 如何建立坐标系 使抛物线的方程更简单呢 问题一 如何建立坐标系呢 思考 抛物线是轴对称图形吗 三 探究二 抛物线的标准方程 那么焦点f的坐标为 准线l的方程为 设抛物线上的点 动点m满足的几何条件是则有化简方程得方程叫做抛物线的标准方程 问题二 抛物线的标准方程的推导 如图所示 取经过点f且垂直l的直线为x轴 垂足为k 以fk的中点o为原点 建立直角坐标系 设 m f l x y 四 数形结合思考 在方程中 因为一次项含x且其系数为 可以得到焦点坐标 可以说 一次项x的系数是 则焦点在上 且焦点的横坐标等于一次项x的系数的四分之一 同时也可以得到准线方程 反之 如果已知焦点的坐标是 可以写出 抛物线方程 同理 如果已知准线方程是 也可以写出抛物线方程 f l x y 2p 2p x轴 1 已知抛物线标准方程是 则它的焦点坐标为 准线l的方程为 2 已知抛物线的焦点坐标是f 则它的标准方程是 3 已知抛物线的准线方程是 则它的标准方程是 4 点m与点f的距离和它到直线的距离相等 则点m的轨迹方程是 三 实践感知例1 变式 5 点m与点f 4 0 的距离比它到直线的距离小1 求点m的轨迹方程 m f 4 0 l x y l 5 4 四 探究三 抛物线的几何性质 f l x y m 当x值越大 的值也越大 坐标原点o 以 y代y 方程不变 这条抛物线关于对称 x轴 五 实践感知例2 1 抛物线上一点到焦点f的距离是 2 抛物线上一点到焦点f的距离是 2 归纳总结 抛物线的焦半径公式是 3 斜率为1的直线经过抛物线的焦点 与抛物线相交于两点a b 求线段ab的长 定义 抛物线上任意一点与抛物线焦点f的连线段 叫做抛物线的焦半径 归纳总结 抛物线的焦点弦长公式 引申探究 4 求经过抛物线的焦点的弦ab的中点的轨迹方程 f l x y a b m 1 抛物线的
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