高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法课堂导学案.docx

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法课堂导学三点剖析一、函数零点的性质【例1】函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间-2,4上的零点必定在( )A.-2,1内 B.,4内C.1,内 D.,内解析：由于f(-2)=-8-8-6-6=-280,且f()=f(1)=1-2+3-6=-40,零点在区间1,内.又f()=f()0,零点在区间,内.选D.答案：D二、求方程的近似解【例2】求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.思路分析：考查函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间.解:经试算,f(0)=-30,所以函数f(x)=2x3+3x-3在0,2内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在0,2内有解.取0,2的中点1,经计算f(1)=20,又f(0)0,所以方程2x3+3x-3=0在0,1内有解.如此下去,得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间如下表所示.左端点右端点第1次02第2次01第3次0.51第4次0.50.75第5次0.6250.75第6次0.68750.75第7次0.718750.75第8次0.7343750.75第9次0.7343750.74218750.742 187 5-0.734 375=0.007 812 5bc且f(1)=0,证明f(x)必有两个零点;(2)若对x1、x2R且x1bc,a0,c0,即ac0.方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.故函数f(x)有两个零点.(2)令g(x)=f(x)f(x1)+f(x2),则g(x1)=f(x1)f(x1)+f(x2)=,g(x2)=f(x2)f(x1)+f(x2)=.g(x1)g(x2)=f(x1)-f(x2)2.f(x1)f(x2),g(x1)g(x2)0.g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.故f(x)=f(x1)+f(x2)在(x1,x2)内必有一实根.各个击破类题演练1函数y=lgx的零点所在的大致区间是( )A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)解析：代入验证,可知f(9)=lg9-10.f(9)f(10)0.答案：D变式提升1下列各图中函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是( )解析：用二分法只能求变号零点的近似值,而B中的零点是不变号零点,故选B.答案：B类题演练2求方程x3-4x+1=0的一个正数的零点.(精确到0.1)解析：设f(x)=x3-4x+1,由于f(1)=-20,故可取区间1,2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间f(1)=-20f(1.5)=-1.6250f(1.75)=-0.6410f(1.875)=0.092f(1.813)=-0.296f(1.844)=-0.1071,21.5,21.75,21.75,1.8751.813,1.875 由上表计算可知区间1.813,1.875的长度小于0.1,这个区间的中点1.843 7为所求函数的一个正实数零点近似值.变式提升2先用求根公式求出方程2x2-3x-1=0的解，用二分法求出这个方程的近似解.(精确到0.1)解析：方程的两个解分别为x1=,x2=.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275).令f(x)=2x2-3x-1在区间(1.775,1.8)内,用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)5f(1.8)0.方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.又|1.8-1.775|=0.0250.1,此时区间(1.775,1.8)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.8，方程在区间(1.775,1.8)内精确到0.1的近似解为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内精确到0.1的近似解为-0.3.类题演练3x1与x2分别是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1x2,x10,x20.求证:方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.证明:令f(x)=x2+bx+c.x1、x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,ax12+bx1+c=0,-ax22+bx2+c=0.故bx1+c=-ax12,bx2+c=ax22,f(x1)=x12+bx1+c=x12-ax12=ax12,f(x2)=x22+bx2+c=x22+ax22=ax22.f(x1)f(x2)=a2x12x22.a0,x1x20,f(x1)f(x2)0.故方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.变式提升3一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处焊口脱落,问至多需要检测的次数是多少?解析：对焊接点一一检测很麻烦,当然也是不需要的.只需选线路AB的中点C,然后判断出焊口脱落的点所在的线路为AC,还是BC,然后依次循环上述过程即可很快检验出焊点的位置,最多次数是6次.根据“二分法”的思想,具体分析如下:第1次取中点把焊点数减半为=32(