数学人教版七年级下册平方根精讲练习.pdf

实 数 情境导入 一天早晨 同学小毅一觉醒来 发现窗户外的山坡上在打仗 仔细一看 一边 打着 有理数 的大旗帜 一边打着 无理数 的大旗帜 有理数和无理数为什么要打仗 哦 原来是为了名字 听听无理数司令 怎么说 我们无理数和有理数同样是数 为什么他们 有 理 我们 无理 我们究竟哪儿无理 对呀 怎么会无理呢 小毅心里也在琢磨 因为人们最开始发现的是有理数 见到我们无理数时还不理解 所以取了 无理数 这么难听的名字 可是现在 人们已经充分认识我们了 就该给我们摘 掉 无理 的帽子才对 无理数 和 有理数 仅是名称而已 据说是清朝末年从日本引进时翻译的 讹误 因此不能从词义上理解 它们根本的区别 学了本章后你就会明白 本章将告诉你 学习的重点是平方根的概念 乘方与开方互为逆运算以 及实数的意义 学习的难点是平方根 立方根及实数的意义和运用实数的运 算解决问题 考点聚集 专题 平方根 算术平方根和立方根概念 专题 实数的分类 专题 无理数的估数与计算 方法指路 理解并掌握平方根 算术平方根的概念 掌握算术平方根的性质 学习平 方根的概念 一要注意被开方数的限制条件 二是注意运用比较法学习平方根 与算术平方根 弄清它们之间的区别与联系 运用算术平方根的性质进行辨析 和计算时 要抓住关键 即算术平方根的双重非负性 也就是被开方数和它的算 术平方根都是非负数 理解并掌握立方根的概念 会求一个数的立方根 掌握立方根的性质 立 方根和平方根概念的最大区别是求一个数的立方根 被开方数没有限制条件 要注意掌握一些常用数的立方是多少 便于快捷地求一个数的立方根 了解实数的概念 要学会从不同的角度对实数进行分类 掌握实数的有 关性质 要注意运用数形结合的方法 从 数 与 形 的两个方面理解 比较两个 有理数的大小 一方面要注意运用法则 另一个方面要注意画数轴 平 方 根 学 习 目 标 导 航 了解一个数的平方根和算术平方根的意义 理解和掌握平方根的性质 会求一个非负数的平方根 算术平方根 会用科学计算器求一个非负数的算术平方根 教 材 知 识 详 析 要点 算术平方根的意义 重点 一般地 如果一个正数x的平方等于a 即x a 那么这个正数x叫做a的算 术平方根 a的算术平方根记为a 归纳整理 由于a是正数x的平方 所以a是正数 即a中的被开方数a是正 数 a也是正数 的算术平方根是 可以记作 即 这样 a中的被开方 数a是非负数 a也是非负数 例 求下列各数的算术平方根 精析 根据算术平方根的定义来计算 解答 因为 所以 的算术平方根是 即 因为 所以 的算术平方根是 即 因为 所以 的算术平方根是 即 因为 所以 的算术平方根是 即 因为 所以 的算术平方根是 即 此类题目应按照算术平方根的定义去求 当遇到带分数时应先将带分 数化为假分数 例 计算 等于 A B C D 精析 由算术平方根的意义 知 所以原式 解答 D 本题考查了算术平方根的概念 并代入运算 属于基础题 要点 平方根的定义 表示及性质 难点 定义 一般地 如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的平方根或二次方 根 即如果x a 那么x叫做a的平方根 表示 正数a的算术平方根可用符号 a 表示 正数a的负的平方根可用符号 a 表示 这两个平方根合起来记作 a 故正数a的平方根 用符号 a 表示 读作 正负根号a 性质 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 有一个平方根 它是 本身 负数没有平方根 关键提醒 数a是否有平方根 应根据a的取值而定 一般地 当a是正数 时 a有两个平方根 它们互为相反数 当a是 时 只有一个平方根是它本身 当a为负数时 没有平方根 所以判断一个数a是否有平方根 一定要注意a的隐 含条件 即a一定是非负数 例 求下列各数的平方根 解答 的平方根为 即 的平方根是 即 的平方根是 即 一个正数的平方根总是成对出现的 且他们互为相反数 求一个带分数的平方根应先将带分数化成假分数 求一个算式的平方根 应先算出这个算式的具体值 然后求这个值的平方根 例 下列各式中 一定有意义的是 A B C D a 精析 在选项A和B中 被开方数都小于 所以式子没有意义 在选项D中 被开方数a可能大于 可能等于 也可能小于 所以式子不一定有意义 解答 C 求一个数的平方根就是根据平方根的定义 看这个数是哪两个互为相 反数的平方 要点 开平方 重点 求一个数a的平方根的运算 叫做开平方 其中a叫做被开方数 关键提醒 被开方数a是非负数 即正数和零 平方与开平方是互逆运 算关系 例 求下列各式中x的值 x x 精析 这里要求灵活运用开平方的知识来解方程 若把方程左边展开 则就走 入误区 必须运用开平方的知识求解 解答 x x x 或 x 则x 或x x x x 或 x 则x 或x 本题不要将原方程利用乘法公式变形展开 把括号里的看作整体处 理 因此问题就转化为求平方根问题 但要注意一个正数的平方根有两个 要点 估算 难点 对于两个正数a b 如果a b 那么a b 关键提醒 此结论可以用来比较两个算术平方根的大小 也可用来进行估算 若对于三个正数a b c 且a b c 则a b c 例 估计 的算术平方根的大小在 A 与 之间B 与 之间 C 与 之间D 与 之间 精析 合理地估计平方根的大小也是中考考查的热点 要想估计 的算术平 方根的大小在哪两个整数之间 可考虑 在哪两个整数的平方之间 解答 因为 所以 即 的算术平方根在 与 之间 故选C 估算平方根的大小主要是利用夹逼法 即利用与被开方数最接近的完 全平方数来估计这个被开方数平方根的大小 此外 还可利用计算器进行计算 从 而得出正确答案 例 用计算器探索 已知按一定规律排列的一组数 如果从中选出若干个数 使它们的和大于 那么至少要选 个数 精析 先用计算器计算 可得 观察结果可知 分母中的被开方数越大 其结果越小 因此应选排在前面的若干个数 解答 通过计算可知 而 故至 少要选 个数 先用计算器计算出前面一些数的近似值 然后找规律分析 发现从前 面的数依次选取是解本题的关键 拉 分 典 例 探 究 综合应用 例 要点 的算术平方根是 若x 则x 若a的平方根是 则a 精析 先求 的值再求算术平方根 的算术平方根是 由x 可得 是x 的算术平方根 所以x x a的平方根是 可得a 则a 解答 归纳 演绎 a a a a a a a 例 要点 小明家的客厅面积为 m 共用了完全相同的 块正方 形地板砖来铺 那么每一块正方形地板砖的边长是多少 精析 设每一块正方形地板砖的边长是xm 可得 x 通过解方程可求 出地板砖的边长x的值 解答 设每一块正方形地板砖的边长是xm 依题意 得 x x 由平方根的定义 得x 因为在实际问题中 边长不能为负数 所以x 故小明家每一块正方形地板砖的边长是 m 探索 发现 平方根运用于实际问题中时 一定要符合实际意义 例 要点 a 的平方根是 a b 的平方根是 求a b的 平方根 精析 由 a 的平方根是 得 a 求出a的值 由 a b 的平方 根是 得 a b 因此求出a b的值 把a b的值代入a b求出值 最 后求其平方根 解答 a 的平方根是 a 解得a a b 的平方根是 a b b 解得b 故a b 其平方根为 因此a b的平方根是 归纳 演绎 灵活应用开平方的逆运算即乘方运算建立方程组求解 探究创新 例 要点 若m n满足关系式n m m m 求m n的平 方根 精析 这是一道关于平方根的小综合试题 首先利用平方根的性质 得到m 解得m 再根据分数的分母不能为 得到m 解得n 解答 根据题意 可知 m m m 解得m 把m 代入原关系式 得n 所以m n 它的平方根是 分析 对比 本题中求m n的值不是利用方程组的性质 而是利用平方根的 性质 先求出m的值 然后代入原关系式求出n的值 这类题目常常置于中考的大 题中 应注意平方根有两个 它们互为相反数 避免出现错误 误 区 警 醒 误区 在求含有 的式子的值时 得出两个值 例 计算 错解 因为 所以 正解 警醒 此题错在误用算术平方根的意义 表示 的算术平方根 即求一个 正数的平方等于 只有 误区 求含有 的式子的算术平方根时 忽视 的作用 例 求 的算术平方根 错解 因为 所以 的算术平方根是 正解 求 所以 的算术平方根是 即 的算术平方根是 警醒 此题错在将 的算术平方根当成 的算术平方根 其实这里是求 的算术平方根的算术平方根 应先化简 再求 的算术平方根 知 能 提 升 训 练 夯基固本 要点 的算术平方根是 A B C D 要点 的平方根是 A B C D 没有平方根 要点 下列说法正确的是 A 是 的平方根B 是 的算术平方根 C 的平方根是 D 的平方根是 要点 的平方根是 A B C D 要点 的算术平方根是 要点 的平方根是 要点 的算术平方根是 要点 求下列各数的平方根和算术平方根 要点 要切一块面积为 c m 的正方形铁板 它的边长应是多少 综合应用 要点 一个数的算术平方根为a 比这个数大 的数是 A a B a C a D a 要点 的算术平方根是 A B C D 要点 要点 如果x 那么x 要点 甲 乙两人计算a a a 的值 当a 时 得到下面不同的 答案 甲的解法是 a a a a a a a 乙的解法是 a a a a a a a a 谁的解答是正确的 错误的解答错在哪里 为什么 要点 求满足下列各式中的x的值 x x x 要点 若a 则a 若 a 则a 要点 已知a a b 求a与b的值 要点 已知 a 与 a是x的平方根 求x的值 要点 已知 a b b c 求 a b c 的算术平 方根 探究创新 要点 借助计算器计算下列各式 试猜测 的结果 答案全析全解 B C B D 的平方根是 算术平方根是 的平方根是 算术平 方根是 的平方根是 算 术平 方 根 是 的 平 方 根 是 算术平方根是 设它的边长为xc m 则有x 所以x c m D C 乙的解答正确 因为当a 时 a 所以 a a x x 或 x 或 根 据 算 术 平 方 根 的 意 义 得 a a 解得 a a a 把a 代入已知式中 得 b 解得b a b 或 迷 你 数 学 世 界 诗 之 趣 谈祥伯是中国人民解放军军医大学数学教授 他对文学诗歌很有研究 有一 次 他将我国近代著名作家徐志摩一首很有名的新诗 再别康桥 中的 轻轻的 我 走了 正如我轻轻的来 组成了一个有趣的数学题目 使数学渗入到了诗 歌领域 显现了他的非凡才识与创新精神 经改编 上述两句诗变成了如下的等式 组 轻轻的 我 走了 正 如 我 轻轻的 来 在上述等式中 相同的汉字代表 中相同的数字 不同的汉字代 表不同的数字 开平方得出的数当然都是整数 这组等式有唯一的解答 你能知道 每个汉字分别代表哪个数字吗 这个问题的答案为 分析如下 由第一个等式易知 三位数 轻轻的 开平方后的数必是两位数 我们知道 从中可看出 两个重复数字只有 因此 轻轻的 所代表的数字有可能是 或 又因一位数的整数平方根是整数 这个数只能是 但从第二个式子右 边可知 不能作除数 而且来 要能整除 或 所以 来 只能是 或 如果 来 代表 那么右边成 或 都是两位数 而左边必是一位数 这当然不 行 要使右边商为一位整数 来 只能代表 或 显然 我 只能代表 中的数 因为 不能作除数 所以不能代表 若 我 代表 则要求 或 显然都有两个 不符合题意 所以 我 不能代表 又 已代表 来 因此 我 只能代表 如果 轻轻的 代表 那么就会有 这样 算式又有两个 了 不符合题意 所以 轻轻的 只能代表 走了 只能代表 又由于 我 是代表 如 就必须是 的倍数且又是一位数 那么它只能代表 由于第二式右边是 所以 正 只能代表 这样正确的答 案就完全找到了 的计算小史 几千年来 人们为了寻找圆周率 的越来越精确的近似值而付出了巨大的心血 起初人们通过经验和实践 得到了粗略的 值 第一个以科学的方法计算 值 的是古希腊数学家阿基米德 公元前 公元前 他用正多边形来逼近圆 得到 中国古代数学家在圆周率计算方面有着卓越的成就 公元 世纪 刘徽创造了 一种比阿基米德更巧妙的方法 他算出圆周率 现在叫做 徽率 南 北朝时期的祖冲之 得到 并得到了圆周 率的另外两个近似分数 和 前者称为 约率 后者称为 密率 祖冲之的记录保持了将近 年 年 阿拉伯数学家阿尔 卡西才算得 的精确到小数点后 位的 的值 到 世纪 德国人奥托和荷兰人安托尼兹又重 新计算出密率 文艺复兴以后 欧洲数学家用无穷级数法代替正多边形逼近的方法 使圆周率 的计算方法更为简捷 用手工计算 的值的最高纪录是 年英国人弗戈森创造 的 他将 精确到小数点后 位 进入电脑时代后 圆周率的计算更是突飞猛进 年 科学家们在第一台电 子计算机E N I A C上将 精确到 位小数 年 英国哥伦比亚大学查德诺 夫斯基兄弟在计算机上算出 的 亿位可靠数字 将这些数字印出来可长达 千米 而到了 年 日本学者金田安政及其合作者在一台日立S R 计算机上算得的 值竟精确到了 亿多位 现在 计算 的近似值已成为测试 计算机运行速度和准确度的一个重要指标 P 填表 正方形 的面积 d m 正方形 边长 d m P 问题 小正方形的对角线长是 P 问题 见过 如 P 探究 从表中可以发现 被开方数的小数点向右 或向左 移动两位 开方数的结果向相同的 方向移动一位 因为 所以 根据 的 值不能说出 是多少 P 填表 x x P 问题 因为任何一个数的平方都不