九年级数学一元二次方程(带答案).doc

第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 第第 1 讲讲 一元二次方程概念及解法一元二次方程概念及解法 知识要点知识要点 一一 知识结构网络知识结构网络 一 元 二 次 方 程 解 法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 分式方程的解法 二元二次方程组的解法 性 质 判别式 根与系数的关系 应 用 二次三项式的因式分解 列方程或方程组解应用题 二 一元二次方程的四种解法二 一元二次方程的四种解法 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 1 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一 适用于方程经过适当整理后 可化为或 0 2 bbx 的形式的方程求解 当时 可两边开平方求得方程的解 当时 方程无实数根 bax 2 0 b0 b 2 因式分解法解方程的步骤 1 将方程一边化为 0 2 将方程另一边分解为两个一次因式的乘积 3 令 每个一次因式等于 0 得到两个一元一次方程后求解 它们的解就是原一元二次方程的解 3 配方法解一元二次方程的步骤为 1 化二次项系数为 1 2 移项 使方程左边为二次项和一次项 右边为 常数项 3 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 4 原方程变为的形式 5 如果右边是 xmn 2 非负数 就可用直接开平方法求出方程的解 4 公式法解一元二次方程的基本步骤 1 将方程化为一般形式 确定 a b c 的值 2 0 2 cbxax 计算的值并判别其符号 3 若 则利用公式求方程的解 若acb4 2 04 2 acb a acbb x 2 4 2 则方程无实数解 04 2 acb 典型例题典型例题 1 用因式分解法 6730 2 xx 解 解 0 32 13 xx 2 3 3 1 032或013 21 xx xx 2 用公式法 143 2 xx 解 解 0143 2 xx 028 1 3 4 4 2 3 72 3 72 3 7 2 3 2 28 4 21 xx x 3 用配方法 03022 2 xx 解 解 15 2 2 2 xx 8 121 4 2 4 2 15 4 2 2 2 2 222 x xx 2 2 5 23 2 4 11 4 2 21 xx x 经典练习经典练习 一 直接开方法 1 2 xx 112 22 bax 2 二 配方法注 1 2 22300 2 xx 341 2 xx 二 公式法 1 用求根公式法解下列方程 1220 2 xx 解 解 2 2810 2 yy 解 解 3 23 1 8 0 2 xx 解 解 4 321 2 yy 解 解 5 2510 2 xx 解 解 62 530 2 xx 解 解 7 3450 2 xx 解 解 7 方程无实数根 824 32 20 2 xx 解 解 9 002003035 2 xx 解 解 9 先在方程两边同乘以 100 化为整数系数 再代入求根公式 10 12 33 13 2 xx 解 解 三 因式分解 1 用因式分解法解下列各方程 1 x2 5x 24 0 解 解 2 12x2 x 6 0 解 解 3 x2 4x 165 0 解 解 4 2x2 23x 56 0 解 解 8 2 7 0 8 72 21 xxxx 5 92416412 2 xxx 解 解 6 333 3 2 xx 解 解 7 xx 2 3260 解 解 8 xx 25106 2 解 解 x 2 2 5 x 2 6 0 x 2 2 x 2 3 0 x1 4 x2 5 9 t t 3 28 解 解 9 t2 3t 28 0 t 7 t 4 0 t1 7 t2 4 10 x 1 x 3 15 解 解 x2 4x 3 15 x 6 x 2 0 x1 6 x2 2 2 用因式分解法解下列方程 1 y 1 2 2y y 1 0 解 解 2 3x 2 2 4 x 3 2 解 解 0 3 2 23 3 2 23 xxxx 8 5 4 0 8 45 21 xxxx 3 9 2x 3 2 4 2x 5 2 0 解 解 3 2x 3 2 2x 5 3 2x 3 2 2x 5 0 2 19 10 1 0 192 110 21 xxxx 4 2y 1 2 3 2y 1 2 0 解 解 2y 1 1 2y 1 2 0 三 综合练习 1 下列方程中 有两个相等实数根的方程是 B A 7x2 x 1 0B 9x2 4 3x 1 C D xx 2 7150 3 2 2 2 10 2 xx 2 若 a b c 互不相等 则方程 a2 b c2 x2 2 a b c x 3 0 C A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根D 根的情况不确定 解析解析 因为 4 a b c 2 12 a2 b2 c2 4 2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc 4 a b 2 b c 2 c a 2 0 3 若方程的两个实根的倒数和是 S 求 S 的取值范围 m xmx 22 2310 分析 分析 本题是二次方程与不等式的综合题 即利用方程有两个实根 求出 m 的取值范围 再用 S 的代0 数式表示 m 借助 m 的取值范围就可求出 S 的取值范围 解 解 设方程的两个实根为 2 21 2 2121 1 32 则 m xx m m xxxx 方程有两个实根 32 1 32 11 0 且 4 3 0 且04 32 2 2 21 1 21 222 m m m m xx xx xx S mm mmm 0 2 3 且 4 3 2 3 2 3 SS S m 3 且 2 3 SS 4 已知关于 x 的方程 x2 2m 1 x m 2 2 0 m 取什么值时 1 方程有两个不相等的实数根 2 方程有两个相等的实数根 3 方程没有实数根 解析解析 2m 1 2 4 m 2 2 5 4m 3 1 当 即时 原方程有两个不相等的实数根 2 当时 原方程有两个相等的实数根 3 当时 原方程没有实数根 5 已知关于 x 的方程 xkxkk 22 21210 1 求证 对于任意实数 k 方程 总有两个不相等的实数根 2 如果 a 是关于 y 的方程 的根 其中为方程 的两yxxk yxkxk 2 1212 20 xx 12 个实数根 求 代数式的值 1 1 4 1 1 2 a a aa a a 分析 分析 第 1 题直接运用根的判别式即可得到结论 第 2 题首先利用根与系数关系可将方程 化成 再利用根的定义得到 将代数式化简后 把整体代入即可求出代012 2 yy12 2 aa12 2 aa 数式的值 1 证明 证明 08484484 12 4 1 4 2222 kkkkkkk 对于任意实数 k 方程 总有两个不相等的实数根 2 解 解 是方程 的两个实数根 21 x x 12 1 2 2 2121 kkxxkxx 1 1 212 22 1 22 22 2 212121 21 kkkkk kxxkxxkxkx kkkxx 方程 012为 2 yy a 是方程 的根 012 2 aa a a aa a a aaaa 1 1 4 1 1 12 0 1 0 2 2 2 1 4 2 4 112 12 1 4 1 1 1 4 1 1 1 22 2 2222 a aa a aaa a aaa a aa aa aa 注 注 第 2 问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用 6 已知关于 x 的一元二次方程的两个实数根之差的平方为 maxaxc 2 20 1 试分别判断当时 是否成立 并说明理由 acac 1322 与 m 4 2 若对于任意一个非零的实数 a 总成立 求实数 c 及 m 的值 m 4 解 解 1 原方程化为时 3 1当 ca3 1 则032 21 2 xxxx 416 3 1 2 m 即成立4 m 当时 原方程化为2 2 ca0242 2 xx 由 可设方程的两根分别为02 2 442 21 x x 则 2 2 2 2121 xxxx 42244 21 2 21 2 21 xxxxxxm 即不成立4 m 2 设原方程两个实数根是 21 x x 则 a c xxxx 2121 2 a c xxxxxxm 4 44 21 2 21 2 21 对于任意一个非零的实数 a 都有4 4 4 a c 4 0 04时 0当 0 2 mc ac c 第第 2 2 讲讲 根的判别式根的判别式 知识要点知识要点 1 根的判别式 关于 x 的一元二次方程axbxca 2 00 bac 2 4 当时 方程有两个不相等的实根 0 当时 方程有两个相等的实根 0 当时 方程无实根 0 典型例题典型例题 1 a b c 是三角形的三条边 求证 关于 x 的方程 b2x2 b2 c2 a2 x c2 0 没有实数根 分析 分析 此题需证出 0 已知条件中 a b c 是三角形的三边 所以有 a 0 b 0 c 0 还应注意有一个隐含关 系 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 证明 证明 因为 b2 c2 a2 2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 2bc b c 2 a2 b c 2 a2 b c a b c a b c a b c a 要判断这个乘积是不是负的 应审查每个因式的正 负 因为 b c a 即 b c a 0 同理 b c a 0 又 c a b 即 b c a 0 又 a b c 0 所以 b c a b c a b c a b c a 0 所以 原方程没有实数根 经典习题经典习题 为三边长的三角形是cba ca bxxcax 0 4 1 2 A 以 a 为斜边的直角三角形 B 以 c 为斜边的直角三角形 C 以 b 为底边的等腰三角形 D 以 c 为底边的等腰三角形 2 已知关于 x 的一元二次方程xkxk 22 1 1 4 10 1 k 取什么值时 方程有两个实数根 2 如果方程的两个实数根满足 求 k 的值 xx 12 xx 12 解 解 1 032 1 4 1 4 1 22 kkk 解得时 方程有两个实数根 2 3 当 2 3 kk 2 分两种情况 21 xx 当 方程有两个相等的实数根 211 时 得0 xxx 2 3 0 k 当0 时 得0 2112 xxxxx 由根与系数关系 得01 k 矛盾 2 3 知 1 由1 kk 2 3 舍去1 k k 3 已知方程的两根的平方和为 11 求 k 的值 xkxk 22 2120 解 解 设方程的两根为 21 x x 则有2 12 2 2121 kxxkxx 112 11 21 2 21 2 2 2 1 xxxx xx 0 1 3 032 0642 1142144 11 2 2 12 2 2 22 22 kk kk kk kkk kk 94 2 4 12 1 3 22 21 k kk kk 舍去0时 3当 k 当 0时 1 k 1 k 注 注 用根与系数关系后 要计算判别式检验是否有实根 4 含有绝对值的一元二次方程 1 方程 x x 8 x 4 0 的实数根的个数是 A 1B 2C 3D 4 解 解 显然 x 0 不是方程的根 当 x 0 时 x x 8 x 4 0 x 0 的任何实数不可能是方程的根 当 x 0 时 方程为 x2 8x 4 0 此方程两根之积为 4 0 可见两根为一正一负 又因 x 0 故负根舍去 所以方程只有一个实数根 应选 A 2 求方程 x2 2x 1 4 0 的实数根 解 解 令得012 x 2 1 x 显然不是方程的解 2 1 x 当时 方程是 2 1 x04 12 2 xx 即1或3 解得032 2 xxxx x 1 舍去 x 3 当时 方程是 2 1 x04 21 2 xx 即解得 052 2 xx6 1 x 舍去 61 x61 x 故方程的实数根是 61 3 21 xx 5 a b c d 为有理数 先规定一种新的运算 那么 18 时 x bcad c d a b x x 4 5 2 1 6 已知是方程的两根 求代数式的值 21 x x0194 2 xx135 2 3 1 xx 7 广东广州 19 10 分 已知关于 x 的一元二次方程 0 01 2 abxax有两个相等的实数根 求 4 2 22 2 ba ab 的值 分析 由于这个方程有两个相等的实数根 因此 2 40ba 可得出 a b 之间的关系 然后将 4 2 22 2 ba ab 化简后 用含 b 的代数式表示 a 即可求出这个分式的值 答案 解 0 01 2 abxax有两个相等的实数根 2 40bac 即 2 40ba 全品中考网 2 2 22 2 22 2 22 2 44444 2 a ab baa ab baa ab ba ab 0a 4 2 2 2 a b a ab 8 四川乐山中考 四川乐山中考 若关于x的一元二次方程012 2 2 22 kxkx有实数根 1 求实数 k 的取值范围 2 设 k t 求 t 的最小值 3 解 1 一元二次方程012 2 2 22 kxkx有实数根 4 0 2 分 5 即0 12 4 2 4 22 kk 6 解得2 k 4 分 7 3 由根与系数的关系得 kk24 2 2 6 分 8 2 424 kk k k t 7 分 9 2 k 02 4 2 k 10 22 4 4 k 11 即 t 的最小值为 4 10 分 9 四川绵阳中考 四川绵阳中考 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2 1 m x m2 的两实数根为 x1 x2 1 求 m 的取值范围 2 设 y x1 x2 当 y 取得最小值时 求相应 m 的值 并求出最小值 答案答案 1 将原方程整理为 x2 2 m 1 x m2 0 原方程有两个实数根 2 m 1 2 4m2 8m 4 0 得 m 2 1 2 x1 x2为 x2 2 m 1 x m2 0 的两根 y x1 x2 2m 2 且 m 2 1 因而 y 随 m 的增大而减小 故当 m 2 1 时 取得极小值 1 10 湖北孝感中考 湖北孝感中考 关于 x 的一元二次方程 1 2 01xpxx有两实数根 2 x 1 求 p 的取值范围 4 分 2 若pxxxx求 9 1 2 1 2 2211 的值 6 分 答案答案 解 1 由题意得 0 1 4 1 2 p 2 分 解得 4 5 p 4 分 2 由9 1 2 1 2 2211 xxxx得 9 2 2 2 22 2 11 xxxx 6 分 1 1 01 01 01 2 22 2 11 2 2 21 2 1 2 21 pxxpxx pxxpxx pxxxx的两实数根是方程 9 1 9 12 12 2 ppp即 8 分 4 2 pp或 9 分 4 4 5 ppp的值为所求 10 分 说明 1 可利用 1 1 2121 xxxx 得 12 1xx 代入原求值式中求解 11 山东淄博中考 山东淄博中考 已知关于 x 的方程014 3 2 22 kkxkx 1 若这个方程有实数根 求 k 的取值范围 2 若这个方程有一个根为 1 求 k 的值 3 若以方程014 3 2 22 kkxkx的两个根为横坐标 纵坐标的点恰在反比例函数 x m y 的图象上 求满足条件的 m 的最小值 答案 解解 1 由题意得 14432 2 2 kkk 0 化简得 102 k 0 解得 k 5 2 将 1 代入方程 整理得 2 660kk 解这个方程得 1 33k 2 33k 3 设方程014 3 2 22 kkxkx的两个根为 1 x 2 x 根据题意得 12 mx x 又由一元二次方程根与系数的关系得 2 12 41x xkk 那么 5214 2 2 kkkm 所以 当 k 2 时 m 取得最小值 5 12 广东茂名中考 广东茂名中考 已知关于x的一元二次方程 22 60 xxk k为常数 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 设 1 x 2 x为方程的两个实数根 且 12 214xx 试求出方程的两个实数根和k的值 答案 解 解 1 0436 14 6 4 2222 kkacb 2 分 因此方程有两个不相等的实数 根 3 分 2 12 6 6 1 b xx a 4 分 又 12 214xx 解方程组 12 12 6 214 x xx x 解得 2 1 8 2 x x 5 分 方法一 将2 1 x代入原方程得 0 2 6 2 22 k 6 分 解得 4 k 7 分 方法二 将 21 xx 和代入 12 c x x a 得 1 82 2 k 6 分 解得 4 k 7 分 第第 3 3 讲讲 根与系数的关系根与系数的关系 知识要点知识要点 1 根与系数关系 关于 x 的一元二次方程 当axbxca 2 00 0 1212 时 有 xx b a x x c a 推论 1 如果方程的两个实数根是 那么xpxqxxxxp x xq 2 121212 0 推论 2 以为根的一元二次方程 二次项系数为 是 xxxxxxx x 12 2 1212 10 典型例题典型例题 1 已知方程的两个实根中 其中一个是另一个的 2 倍 求 m 的值 xxm 2 30 解 解 设方程的一个根为 x 另一根 2x 由根系关系知 xx xx m 2 3 2 1 2 2 2 解得 x m 1 2 1 m1 2 已知方程的两根不解方程 求和的值 3730 2 xx xxxx 1212 xx 12 xx 1 2 2 2 解 解 由题设条件 xx x x 12 12 7 3 1 xxxxx x 1212 2 12 4 13 3 xxxx 1212 2 xxx x 1212 2 7 3 2 39 3 xxxxxx 1 2 2 2 1212 7 13 9 经典习题经典习题 一 选择题 1 已知是关于 x 的一元二次方程的一个根 则 k 与另一根分别为 x 3 kxkx 1230 2 A 2 1B 1 2C 2 1D 1 2 2 已知方程的两根互为相反数 则 m 的值是 3410 2 xmxm A 4B 4C 1D 1 3 若方程有两负根 则 k 的取值范围是 xxk 2 0 A B C D k 0k 0k 1 4 0 1 4 k 4 若方程的两根中 只有一个是 0 那么 xpxq 2 0 A B pq 0pq 00 C D 不能确定pq 00 5 方程的大根与小根之差等于 xpx p 2 2 1 4 0 A B C 1D 121 2 p 21 2 p 6 以为根的 且二次项系数为 1 的一元二次方程是 15 2 15 2 A B xx 2 10 xx 2 10 C D xx 2 10 xx 2 10 二 填空题 7 关于 x 的一元二次方程的两根互为倒数 则 m xmxm 22 210 8 已知一元二次方程两根比 2 3 则 a b c 之间的关系是 axbxc 2 0 9 已知方程的两根 且 则 xmxm m 2 1 3 40 xx 12 xx 12 229 m 10 已知是方程的两根 不解方程可得 xx 2 520 22 11 33 11 已知 则以为根的一元二次方程是 22 13112 三 解答题 12 已知方程的两根 求作以为两根的方程 2370 2 xx 22 13 设是方程的两个实根 且两实根的倒数和等于 3 试求 m 的值 xx 12 xmxm 22 210 试题答案试题答案 一 选择题 1 A2 B3 D4 B5 C6 B 二 填空题 7 2140 1 1 2 1 1 2 2 2 mm m m m m 8 设 则xtxt 12 23 5 6 625 2 2 t b a t c a bac 9 xxm x xm m xx 12 12 12 1 3 4 229 1 3 425m mm mm 2 2150 或 m5m 3 时 原方程 0 故舍去 m 5m 3 10 5 2 1 22 2 2 25 4 2 33 4 111 333 33 1 3 5 2 25 4 3 185 8 23 1 8 3 2 22 4 25 4 4 41 2 11 2222 13 112 13 12 由此 22 13 1 2 22 2 22 22 2132 121 4120 或 6 2 或 5 6 3 2 所求方程或xx 2 560 xx 2 320 三 解答题 12 解 解 由题意 3 2 7 2 即 223 9 2 22 25 2 9 2 7 2 8 22 2 故所求方程是 即xx 2 9 2 80 29160 2 xx 13 解 解 21401 212 3 11 34 2 2 12 12 2 12 mm xxm x xm xx 由 1410 m m 1 4 由 43 1212 xxx x 213 2 mm 3210 1 310 1 1 3 2 12 mm mm mm 不符合题意 舍去 m2 1 3 m 1 4 m1 第第 4 4 讲讲 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 知识要点知识要点 1 列一元二次方程解实际问题的步骤 1 设 设好未知数 根据实际问题 可直接设未知数 也可间接设未知数 不要漏泄单位 2 列 根据题意 利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程 注意等号两边的单位要一致 3 解 解所列的一元二次方程 4 验 检验所列方程的解是否符合实际问题情境 将不符合题意的方程的解舍去 5 答 根据题意 写出答案 典型例题典型例题 1 某农户种植花生 原来种植的花生的亩产量为 200kg 出油率为 50 即每 100kg 花生可加工成花生油 50kg 现 在种植新品种花生后 每亩收获的花生可加工成花生油 132kg 其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 求 1 2 新品种花生亩产量的增长率 解 解 设新品种花生亩产量的增长率为 x 则有132 2 1 1 50 1 200 xx 解得 不合题意 舍去 2 3 2 0 21 xx 答 答 新品种花生亩产量的增长率是 20 注 注 对于增长率问题 解这类问题的公式是 其中 a 是原来的量 x 是平均增长率 n 是增长bxa n 1 的次数 b 为增长的量 2 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每件赢利 40 元 为了扩大销售 增加赢利 尽快减少库存 商 场决定采取适当的降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价 1 元 商场平均每天可多售出 2 件 求 1 若商场平均每天要赢利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 2 每件衬衫降价多少元时 商场平均每天赢利最多 解 解 1 设每件衬衫应降价 x 元 则有 020030 1200 220 40 2 xx xx 解得20 10 21 xx 根据题意 取 x 20 每件衬衫应降低 20 元 2 商场每天赢利 1250 15 2 260800 220 40 2 2 x xx xx 当时 商场赢利最多 共 1250 元15 x 每件衬衫降价 15 元时 商场平均每天获利最多 经典习题经典习题 1 一个两位数 十位数字与个位数字之和是 5 把这个数的个位数字与十位数字对调位置后 所得的新两位数与原来 的两位数的乘积为 736 求原来的两位数 2 一次会议上 每两个参加会议的人都相互握了一次手 有人统计一共握了 66 次手 这次会议到会的有多少人 3 某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克赢利 10 元 每天可售出 500 千克 经市场调查发现 在进货价格 不变的情况下 若每千克涨价 1 元 日销售量将减少 20 千克 现该商场要保证每天赢利 6000 元 同时又要使顾客得 到实惠 那么每千克应涨价多少元 模拟试题模拟试题 一 填空题 1 一元二次方程化为一般式后 32 2122 2 xxx a b c 2 若方程有两个实数根 则 m 的值是 xxm 2 3 关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 则 k 的取值范围是 kxx 2 610 4 关于 x 的一元二次方程的一个根是 1 另一个根是 m 20 2 xxm 5 若是方程的两个根 则 xx 12 2430 2 xx xx 12 11 6 已知两不等实数 a b 满足条件 则 27102710 22 aabb 11 ab 7 已知 a b 是方程的两个实数根 则 xx 2 270 abb 22 34 二 解下列方程 1 21160 2 x 2 xx 2 890 3 xx 12 1 2 4 xx 2 520 5 x x 760 三 解答题 1 已知关于 x 的方程xmx m 2 2 2 30 求证无论 m 取什么实数值 这个方程总有两个不相同的实数根 若这个方程的两个实数根 求 m 的值xxxxm 1212 22 满足 2 已知关于 x 的方程的两个实数根是 x1 x2 且 如果关于 x 的另一个方程xmxm 2 2