2第二十六章二次函数.doc

第二十六章 二次函数26.1二次函数及其图象专题一 开放题1请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为1，且经过点（1，3）的抛物线的解析式 （答案不唯一）2（1）若是二次函数，求m的值；（2）当k为何值时，函数是二次函数？专题二 探究题3如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是（ ）A B C D4如图，若一抛物线yax2与四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成的正方形有公共点，求a的取值范围.专题三 存在性问题5如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.（1）求抛物线的解析式；（2）若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得BDP的周长最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由. 注：二次函数（0）的对称轴是直线=. =6如图,二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M关于x轴的对称点是M.（1）若A(4,0),求二次函数的关系式; （2）在(1)的条件下,求四边形AMBM的面积;（3）是否存在抛物线,使得四边形AMBM为正方形？若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.【知识要点】1二次函数的一般形式（其中a0，a，b，c为常数）. 2二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点，当a0时，抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大3抛物线的图象与性质：（1）二次函数的图象与抛物线形状相同，位置不同，由抛物线平移可以得到抛物线.平移的方向、距离要根据h，k的值确定.（2）当时，开口向上；当a0时，开口向下； 对称轴是直线；顶点坐标是（h，k）.4二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=，顶点坐标为.【温馨提示】1二次函数的一般形式y=ax2+bx+c中必须强调a0.2当a0时，a越小，开口越小，a越大，开口越大.3二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.4当a0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最小值；当a0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值. 【方法技巧】1一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”.2如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax2+bx+c.3若已知顶点和其他一点，则设顶点式.参考答案1 答案不唯一，如y=x2+3x1等. 【解析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 开口向上，a0. 其与y轴交点纵坐标为1，c=1.经过点（1，3），a+b1=3.令a=1，则b=3，所以y=x2+3x12解:（1）由题意，得解得m=2 （2）由题意，得解得k=3 3C【解析】把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为，答案为C.4解:因为四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成正方形ABCD，所以A(1，2)，C(2，1).设过A点的抛物线解析式为ya1x2，过C点的抛物线解析式为ya2x2，则a2aa1.把A(1，2)，C(2，1)分别代入，可求得a1=2，a2=.所以a的取值范围是a2. 5解:（1）将A（-2,0）， C（0,3）代入=得 解得b= ，c= 3.此抛物线的解析式为 y= x2+x+3. (2) 连接AD交对称轴于点P，则P为所求的点.设直线AD的解析式为y=kx+b.由已知得解得k= ，b=1.直线AD的解析式为y=x+1. 对称轴为直线x= .当x = 时，y = ， P点的坐标为（，）.6解:(1) 把A(4，0)代入，解出c-12.二次函数的关系式为. (2)如图,令y0,则有，解得,，A(4,0),B(6,0)， AB10.,M(1, ), M(1, )， MM25.四边形AMBM的面积ABMM1025125.(3) 存在.假设存在抛物线,使得四边形AMBM为正方形.令y0,则，解得.A(,0),B(,0)，AB.四边形AMBM为正方形, MM.对称轴为直线，顶点M(1, ).把点M的坐标代入,得,整理得,解得(不合题意,舍去),.抛物线关系式为时, 四边形AMBM为正方形. 26.2用函数观点看一元二次方程 专题一 二次函数的图象与性质1关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ）A B C D2已知二次函数的图象如图所示， 对称轴为直线，下列结论中，正确的是（ ）A B C D3二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，给出下列结论： b24ac0； 2a+b0； 4a2b+c=0； a：b：c= 1：2：3.其中正确的是（ ）A. B. C. D.专题二二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系4设一元二次方程=m（m0）的两实根分别为，且，则，满足（）A12B12C12D1且25二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（）A B3 C D96已知函数y=mx26x+1（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值7已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点(1,1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值？并求出最小值.8.【2012珠海】如图，二次函数y=(x2)2+m的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1,0）及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足kx+b(x2)2+m的的取值范围.专题三 利用二次函数知识解决动态问题9一条抛物线y=x2+mx+n经过点（0，）与（4，）（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当P与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标【知识要点】1二次函数yax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）的关系（1）二次函数yax2bxc的图象与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当x= 时，函数的值是0，因此x=就是方程ax2bxc=0的一个根.（2）二次函数yax2bxc的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2bxc=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数，有两个不相等的实数根.2二次函数与一元二次不等式的关系抛物线yax2bxc在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集，所以，利用画二次函数yax2bxc的图象的方法，可以直接地求得不等式ax2bxc0或ax2bxc0的解集【温馨提示】1当抛物线yax2bxc开口向下，与坐标轴有两个交点时，y0对应的x值有两部分，不要漏掉；当抛物线yax2bxc开口向上，与坐标轴有两个交点时，y0对应的x值有两部分，不要漏掉2一元二次方程的解是对应的二次函数与x轴交点的横坐标，而不是与x轴的交点.3圆与坐标轴相切包括与x、y轴相切，不要漏掉某一部分.【方法技巧】1由二次函数图象判断yax2bxc解析式中字母的符号：（1）a：抛物线开口向上，则a0；抛物线开口向下，则a0；（2）b：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴是y轴则b=0；简记“左同右异y轴b=0”；（3）c：抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0；抛物线与y轴的交点在原点，c=0；简记“上正、下负、原点c为0”；（4）b2-4ac：抛物线与x轴两个交点，b2-4ac0；抛物线与x轴一个交点，b2-4ac=0；抛物线与x轴没有交点，b2-4ac0；（5）判断a+b+c的符号，看当x=1时，y的值与0的关系；判断a-b+c的符号，看当x=1时，y的值与0的关系；判断4a+2b+c的符号，看当x=2时，y的值与0的关系；判断4a-2b+c的符号，看当x=-2时，y的值与0的关系；（6）判断2a+b的符号看对称轴与直线x=1的关系；判断2ab的符号看对称轴与直线x=1的关系.2圆与x轴相切时，圆心的纵坐标的绝对值等于半径；圆与y轴相切时，圆心的横坐标的绝对值等于半径.参考答案1D【解析】二次函数化为一般形式得，所以对称轴方程为=，因为对称轴在y轴的右侧，所以，解得2D【解析】a、b同号且a=b，c0，A、B均错误；当x=1时，由图象知y=a+b+c0，即2b+c0，故C错误；由2b+c0，两边加上2b得4b+c2b,不得式左边的b用a替换，可得4a+c2b,所以D正确.3D【解析】抛物线与x轴有两个交点，b2-4ac0，正确；对称轴为直线x=1， =1，可得2a+b=0，错误；当x= -2时，y=4a-2b+c0，错误；由x= -1时，y=a-b+c=0，2a+b=0，可得b=-2a，c=-3a，a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，正确.4D【解析】令m=0，则函数的图象与x轴的交点坐标分别为（1，0），（2，0），故此函数的图象为： m0，1，2故选D5B【解析】抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3，a0，即.一元二次方程有实数根，=，即，即，解得，m的最大值为36解：（1）当x=0时，y=1所以不论m为何值，函数y=mx26x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）（2）当m=0时，函数y=6x+1的图象与x轴只有一个交点；当m0时，若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx26x+1=0有两个相等的实数根，所以=（6）24m=0，m=9综上，若函数y= mx26x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或97解：把(1,1)代入y=x2+px+q得pq=2，q=p2.设抛物线y=x2+px+q与x轴交点A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),d=|x1-x2| ，d2=(x1x2)2=(x1+x2)24 x1x2 = p24q= p24p+8=(p2)2+4,当p=2时，d2有最小值，最小值是4.8解：（1）将点A（1，0）代入y=（x2）2+m得，（12）2+m=0，解得m=1.则二次函数解析式为y=（x2）21当x=0时，y=41=3，故C点坐标为（0，3）.由于C和B关于对称轴对称，设B点坐标为（x，3），令y=3，有（x2）21=3，解得x=4或x=0，则B点坐标为（4，3）设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得， 解得则一次函数解析式为y=x1.（2）A、B坐标为（1，0）、（4，3），当kx+b（x2）2+m时，1x49解：（1）由抛物线过（0，），（4，）两点，得解得抛物线的解析式是y=x2x+.由y=x2x+=（x2）2+，得抛物线的顶点坐标为（2，）.（2）设点P的坐标为（x0，y0）.当圆P与y轴相切时，有|x0|=1，x0=1.由x0=1，得y0=11+=.由x0=1，得y0=（1）2（1）+=.此时点P的坐标为P1（1，），P2（1，）.当圆P与x轴相切时，有|y0|=1.抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y00，y0=1.由y0=1，得x02x0+=1，解得x0=2.此时点P的坐标为P1（2，1），P4（2+，1）.综上所述，圆心P的坐标为P1（1，），P2（1，），P3（，1），P4（，1）26.3实际问题与二次函数专题一 阅读理解型问题1如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）求ABD的面积；（3）将三角形AOC绕点C逆时针旋转90，点对应点为点，问点是否在该抛物线上？请说明理由专题二 操作型问题2如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？ 专题三 图表信息型题3张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）（1）求y与x之间的函数解析式；（2）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？4利民商店经销甲、乙两种商品现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？【知识要点】1利润最大问题.2几何图形中的最值问题.3抛物线型问题.【温馨提示】1实际问题中自变量的取值范围要看清，不要认为自变量取全体实数.2由几何图形中的线段长度转化为坐标系中点的坐标时，不要忽视点所在的象限.【方法技巧】1最大利润问题一般先运用“总利润=总售价总成本”或“总利润=单件商品利润销售数量”建立利润与价格之间的二次函数解析式，应用配方法或公式法求出最值.2几何图形问题常见的有面积的最值、用料的最佳方案、动态几何中的最值等.解题时一般结合面积公式等知识，把要讨论的量表示成另一个量的二次函数的形式，结合二次函数的性质进行分析.3抛物线型问题解决的关键是进行二次函数建模，依据题意有效的将线段的长度转换为点的坐标.将实际问题中的线段长度转化为两点之间的距离.参考答案1 解：依题意，C点坐标为(0,3),E点坐标为（2，3），代入y=x2+bx+c中，得解得故抛物线所对应的函数解析式为y=x2+2x+3由y=x2+2x+3=(x1)2+4,抛物线的顶点坐标为 (1,4),又y=0时，x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,AB=3(1)=4,ABD的面积为44=8不在，理由：当AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在CE所在的直线上，又OA=1,则点A的对应点G的坐标为（3，2）,又x=3时，y=32+23+3=02,G点不在该抛物线上2解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），则有M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）设抛物线的解析式为y=ax2+k，抛物线过点M和点B，则k=5，a=抛物线解析式为 当x=1时，；当时，P（1，），Q（，）在抛物线上当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高=5=，且，网球不能落入桶内（