高一数学正弦定理的推导及其应用课件旧人教版.ppt

正弦定理 重庆巴蜀中学祝健 引例 一天 我巡逻艇a正在某海域执行巡逻任务 忽然发现一艘敌艇b正以30海里 小时的速度朝北偏东40o的方向行进 我方决定向其发射鱼雷给予威慑性打击 鱼雷速度为60海里 小时 发射时敌艇处在我正西方 那么如何确定发射角度才能准确地击中敌艇 a b 40o c 30t 60t 50o a b c 复习 1 三角形中的边 角关系 角的关系 a b c 180o 边的关系 任两边之和 第三边 任两边之差 第三边 边与角的关系 大角对大边 2 直角三角形中的边 角关系 c为直角 角的关系 a b c 90o 边的关系 a2 b2 c2 边与角的关系 除上述关系外的特有关系 2r r 那么 这个性质是否对任意三角形均适用 a 2r b 正弦定理 a 2rsina 同理可得 b 2rsinb c 2rsinc 一 正弦定理 正弦定理 钝角的情形 a 2r 若为钝角三角形 一 正弦定理 正弦定理 正弦定理 即 在一个三角形中 各边和它所对的角的正弦的比值相等 均等于外接圆的直径 正弦定理 二 应用 105o 5 已知两角及任一边 正弦定理 即 在一个三角形中 各边和它所对的角的正弦的比值相等 均等于外接圆的直径 1 a 45o a 4 b 则b 例2 abc中 已知两边及其中一边的对角 1 a 45o a 4 b 则b 3 a 45o a 8 b 则b 4 a 45o a 3 b 则b 5 a 135o a 8 b 则b 例2 abc中 b b b b 4 d b 90o 60o或120o 30o 不存在 30o a bsina bsina a b a b a bsina a为钝角时 a b 一解 一解 二解 一解 无解 正弦定理 1 利用正弦定理 可解以下两类三角形 已知两角及任一边 已知两边及其中一边的对角 启示 2 已知 abc中a a b 则三角形的解个数 1 若a为锐角 a bsina 一解 bsina a b 二解 a b 一解 a bsina 无解 2 若a为钝角 a b 无解 a b 无解 a b 一解 正弦定理 练习 练习 2 abc中a x b 2 b 45o 若 abc有二解 则x 1 已知 abc中 a 30 b 26 a 30o 求角b 解 a b a b b arcsin 正弦定理 1 正弦定理适用于任意三角形 它揭示了三角形中边与角的客观规律 实现了边与角的相互转换 正弦定理 小结 2 正弦定理在解两类三角形中的应用 已知两角及任一边 已知两边及其中一边的对角 面积公式 边角互化 例4 abc中 b 2asinb 则a 30o或150o c 启示 析 b 2asinb 2rsinb 2 2rsinasinb 1 2sina 析 sina sinb a b 正弦定理的常用变形式 a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc a b 正弦定理 例3 用下面的 abc的面积公式证明正弦定理 此公式可直接应用 1 abc中 已知b 2acosc 则a c的关系为 a a c b a c c a c d a c的关系不确定 b 2 abc中 a b c 4 1 1 则a b c 练习 c 启示 析 sina sinb a b 正弦定理的常用变形式 a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc a b 正弦定理 sina sinb sinc a b c 例6 abc中 若sina 2sinbcosc sin2a sin2b sin2c 判断 abc的形状 正弦定理 解 sina 2sinbcosc sin b c 2sinbcosc sinbcosc cosbsinc 2sinbcosc sinbcosc cosbsinc 0 即 sin b c 0 0 b 0 c b c b c 0 b c 由 可知 abc为等腰直角三角形 又sin2a sin2b sin2c 由正弦定理得 a2 b2 c2 例7 已知 abc中 b2sin2c c2sin2b 2bccosbcosc 判断 abc的形状 b 2rsinb 由正弦定理知 c 2rsinc r为 abc外接圆半径 原等式转化为 解 b 2rsinb 由正弦定理知 c 2rsinc r为 abc外接圆半径 原等式转化为 4r2sin2bsin2c 4r2sin2csin2b 8r2sinbsinccosbcosc sin2bsin2c sinbsinccosbcosc b c为三角形内角 sinbsinc 0 sinbsinc cosbcosc 有 即cos b c 0 b c 90o a 90o abc为直角三角形 例7 已知 abc中 b2sin2c c2sin2b 2bccosbcosc 判断 abc的形状 正弦定理 解 abc中 1 acosa bcosb 则 abc的形状为 2 则 abc的形状为 等腰或直角三角形 等边三角形 练习 而0o b c 180o 例8 abc中 a b c成等差数列 b 1 求证 1 a c 2