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三垂线定理 复习巩固 1 直线和平面垂直的判定定理为2 过平面外一点向这个平面引垂线 垂足叫做这个点在这个平面内的 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 那么这条直线叫做这个平面的 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 经过垂足和斜足的直线叫 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 射影 斜线 直线在平面上的射影 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 1 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 3 已知正方体ac1中 求证 bd 面aa1c bd a1c 证明 证明 在正方体ac1中 aa1 面abcd aa1 bd又bd acac aa1 a bd 面aa1c 由 知bd 面aa1ca1c在面aa1c bd a1c 4 在正方体ac1中 ac1在平面abcd bb1c1c内的射影分别 平面abcd bb1c1c内的直线bd bc1分别与对应的斜线是否垂直 与对应的射影呢 ac b1c 垂直 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 已知 po pa分别是平面 的垂线 斜线 oa是pa在平面 内的射影 且a在平面 内 a oa求证 a pa 三垂线定理 证明 po 平面 垂且a在平面 内 po a又a oaoa po o a 面pao a pa 注意 关键 寻找 垂面 确定 射影 判别 垂直 三线 斜线 射影 面内一条直线 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理及其逆定理 已知 如图 正方体ac1中 e f分别为棱ab bc的中点求证 c1e df 例 证明 正方形abcd中 e f分别为ab bc中点 dcf cbe cdf bce又 cdf dfc 900 bce dfc 900 df ce又因为cc1 平abcd c1e在平面abcd内的射影为ce 由三垂线定理知c1e df 小结 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 练习和作业 1 已知 o为正方体ac1的底面abcd的中点 求证 d1o ef2 已知p为 abc所在平面外一点 若p在平面abc内的射影是 abc的垂心 求证 pa bcpb acpc ab3 如图 po是平面 的斜线 o为斜足
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