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异面直线所成角的计算 复习定义 探索方法 归纳小结 反馈练习 例题1 例题2 练习1 练习3 练习2 a b b o 一 定义 注意 异面直线所成角的范围是 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 分别引直线a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 0 a 求角的步骤 1 确定角 2 求角 求异面直线所成角的步骤有哪些 想一想 例2 长方体abcd a1b1c1d1 ab aa1 2cm ad 1cm 求异面直线a1c1与bd1所成角的余弦值 取bb1的中点m 连o1m 则o1m d1b 如图 连b1d1与a1c1交于o1 于是 a1o1m就是异面直线a1c1与bd1所成的角 或其补角 o1 m 解 为什么 由余弦定理得 a1c1与bd1所成角的余弦值为 方法归纳 平移法 连a1m 在 a1o1m中 即根据定义 以 运动 的观点 用 平移转化 的方法 使之成为相交直线所成的角 解法二 方法归纳 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 在 a1c1e中 由余弦定理得 a1c1与bd1所成角的余弦值为 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结a1e c1e 则 a1c1e为a1c1与bd1所成的角 或补角 bc1的方体b1f 正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd交于o 则ob1与a1c1所成的角的度数为 练习1 900 在正四面体s abc中 sa bc e f分别为sc ab的中点 那么异面直线ef与sa所成的角等于 c d a 300 b 450 c 600 d 900 练习2 b g 练习2 解法二 练习2 解法三 三 解答题 已知正方体的棱长为a m为ab的中点 n为bb1的中点 求a1m与c1n所成角的余弦值 解 e g 如图 取ab的中点e 连be 有be a1m 取cc1的中点g 连bg 有bg c1n 则 ebg即为所求角 bg be a fc1 a 由余弦定理 cos ebg 2 5 f 取eb1的中点f 连nf 有be nf 则 fnc为所求角 想一想 还有其它定角的方法吗 在 ebg中 定角一般方法有 1 平移法 常用方法 小结 1 求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角 体现了化归的数学思想 2 用余弦定理求异面直线所成角时 要注意角的范围 1 当cos 0时 所成角为 2 当cos 0时 所成角为 3 当cos 0时 所成角为 3 当异面直线垂直时 还可应用线面垂直的有关知识解决 90o 2 补形法 化归的一般步骤是 定角 求角 再见 课件制作 曲靖一中韩睿 2001年3月 说明 异面直线所成角的范围是 0 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角 常
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