一元二次方程学案.doc

第第 2222 章章 一元二次方程一元二次方程 教材内容教材内容 1 本单元教学的主要内容 概念 解一元二次方程的方法 一元二次方程应用题 2 本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习 一元一次方程 二元一次方 程 分式方程等基础之上学习的 它也是一种数学建模的方法 学好一元二次方程是学好二次 函数不可或缺的 是学好高中数学的奠基工程 应该说 一元二次方程是本书的重点内容 教学目标教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 了解一元二次方程及有关概念 掌握通过配方法 公式法 因式分解法降次 解一元二 次方程 掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法 应用熟练掌握以上知识解决 问题 2 2 过程与方法 过程与方法 1 通过丰富的实例 让学生合作探讨 老师点评分析 建立数学模型 根据数学模型 恰如其分地给出一元二次方程的概念 2 结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念 如二次项等 3 通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法 直接开方法 导入用配方法解一元二 次方程 又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 4 通过用已学的配方法解 ax2 bx c 0 a 0 导出解一元二次方程的求根公式 接着讨 论求根公式的条件 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac0 即 m 4 2 1 0 不论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 练习练习 27 1 2 进一步巩固一元 二次方程的基本 概念 四 自主总结 拓展新知 1 a 0 是 ax2 bx c 0 成为一元二次方程的必要条件 否则 方程 ax2 bx c 0 变为 bx c 0 就不是一元二次方程 2 找一元二次方程中的二次项系数 一次项系数 常数项 应先将方程化为一般形式 五 课堂作业 P28 1 2 5 6 7 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 2 课时 一元二次方程 2 学 习 目 标 1 会进行简单的一元二次方程的试解 理解方程解的概念 2 会估算实际问题中方程的解 并理解方程解的实际意义 学习重点一元二次方程解的探索 学习难点一元二次方程近似解的探索 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 1 把方程 3x x 1 2 x 2 8 化成一般形式 并写出它的二次 项系数 一次项系数及常数项 问题问题 2 判断下列方程哪些是一元二次方程 为什么 x2 4x x 2 0 x2 3x 2 x2 x2 2xy 3 0 a x2 bx c 0 复习巩固一元二 次方程的相关概 念 二 自主交流 探究新知 探究探究 猜测方程 2 560 xx 的解是什么 归纳归纳 使一元二次方程使一元二次方程等号两边相等的未知数的值等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程叫作一元二次方程 的解 又叫作一元二次方程的根的解 又叫作一元二次方程的根 问题问题 3 下面哪些数是方程 2x2 10 x 12 0 的根 4 3 2 1 0 1 2 3 4 分析分析 要判定一个数是否是方程的根 只要把其代入等式 使等式两 边相等即可 解 解 将上面的这些数代入后 只有 2 和 3 满足方程的等式 所以 x 2 或 x 3 是一元二次方程 2x2 10 x 12 0 的两根 问题问题 4 认真观察下列方程的结构形式 试写出下列方程的根 并说 出你的理由 x2 16 0 x 3 x 2 0 x 2 2 49 x2 2x 1 25 分析分析 要求出方程的根 就是要求出满足等式的数 可用直接观察结 合平方根或两个数的积为 0 的意义来思考解题 解 解 x2 16 0 x 3 x 2 0 x2 16 x 3 0 或 x 2 0 探究一元二次方 程根的概念以及 作用 进一步巩固方程 的根的含义 方程的根可以起 到检验的作用 检验一个数是 否是方程的根 x 4 x 3 或 x 2 x 2 2 49 x2 2x 1 25 x 2 7 x 1 2 25 x 9 或 x 5 x 1 5 x 6 或 x 4 三 自主应用 巩固新知 例例 1 1 若 x 2 是方程 2 450axx 的一个根 你能求出 a 的值吗 分析分析 根据根的定义可以知道 若一个数是方程的根 那么把这个数 代入方程后 等号必定成立 于是可以构造出关于 a 的一元一次方程 进而 解即可 解解 x 2 是方程 2 450axx 的一个根 4850a 解之得 a 3 4 例例 2 2 若 x 1 是关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的一个根 求 代数式 2007 a b c 的值 分析分析 如果一个数是方程的根 那么把该数代入方程一定能使左右两 边相等 这种解决问题的思维方法经常用到 同学们要深刻理解 解解 x 1 是关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 a b c 0 2007 a b c 0 练习练习 28 1 2 方程的根的另一 个作用 代入 方程使等号成 立 四 自主总结 拓展新知 1 一元二次方程根的概念 2 要会判断一个数是否是一元二次方程的根 3 要会用一些方法求一元二次方程的根 五 课堂作业 P28 3 4 8 课堂内外 对应练习 补充练习补充练习 1 方程 x x 1 2 的两根为 A x1 0 x2 1 B x1 0 x2 1 C x1 1 x2 2 D x1 1 x2 2 2 方程 x2 81 0 的两个根分别是 x1 x2 3 已知方程 5x2 mx 6 0 的一个根是 x 3 则 m 的值为 4 若一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有一个根为 1 则 a b c 若有一个根是 1 则 b 与 a c 之间的关系为 若有一个根为 0 则 c 5 如果 x 1 是方程 ax2 bx 3 0 的一个根 求 a b 2 4ab 的值 教学理念 教学反思 第 3 课时 解一元二次方程 配方法 1 学 习 目 标 1 使学生会用直接开平方法解一元二次方程 2 渗透转化思想 掌握一些转化的技能 学习重点掌握直接开平方法解一元二次方程 学习难点灵活运用直接开平方法解一元二次方程 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 1 一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm2 小李用这桶漆恰好刷 完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面 你能算出盒子的棱长吗 设正方体的棱长为 xdm 则一个正方体的表面积为 6x2dm2 根据一桶 油漆可刷的面积列出方程 10 6x2 1500 由此可得 x2 25 根据平方根的意义 得 x 5 即 x1 5 x2 5 可以验证 5 和 5 是方程的两根 但棱长不能为负值 所以正方体的棱 长为 5dm 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容 列出方程后 让 学生讨论方程的 解法 由于所列 出的方程形式比 较简单 可以运 用平方根的定义 即开平方法 来求出方程的 解 二 自主交流 探究新知 探究探究 对照问题 1 解方程的过程 你认为应该怎样解方程 2x 1 2 5 及方程 x2 6x 9 4 方程 2x 1 2 5 左边是一个整式的平方 右边是一个非负数 根据平方 根的意义 可将方程变形为512 x 即将方程变为512 x和 512 x两个一元一次方程 从而得到方程 2x 1 2 5 的两个解为 x1 2 51 x2 2 51 在解上述方程的过程中 实质上是把一个一元二次方程 降次 转化 为两个一元一次方程 这样问题就容易解决了 方程 x2 6x 9 4 的左边是完全平方式 这个方程可以化成 x 3 2 4 进行降次 得到 x 3 2 方程的根为 x1 1 x2 5 归纳归纳 在解一元二次方程时通常通过 降次 把它转化为两个一元一 次方程 即 如果方程能化成 2 xp 或 2 0 mxnp p 的形式 那么可 得xp 或mxnp 鼓励学生独立解 决问题 在解决 问题的过程中体 会解简单的一元 二次方程的思想 降次 把 二次降为一次 进而解一元一次 方程即可 三 自主应用 巩固新知 帮助学生掌握并 例例 1 1 解下列方程 2y2 8 2 x 8 2 50 2 x 1 2 4 0 4x2 4x 1 0 分析分析 引导学生观察以上各个方程能否化成 2 xp 或 2 0 mxnp p 的形式 若能 则可运用直接开平方法解 解 2y2 8 2 x 8 2 50 y2 4 x 8 2 25 y 2 x 8 5 y1 2 y2 2 x 8 5 或 x 8 5 x1 13 x2 3 2 x 1 2 4 0 4x2 4x 1 0 2 x 1 2 40 当 b2 4ac 0 时 2 2 4 4 bac a 0 x 2 b a 2 4 2 bac a 即 x 2 4 2 bbac a x1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 由上可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 解有些二次项系 数是具体数字的 方程不必写 配方时方程两边 同加上一次项系 数一半的平方 配方到这一步 两边要进行开平 方运算 被开方 数必须是非负数 所以 要对 2 2 4 4 bac a 进行分 析 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入式子 x 2 4 2 bbac a b2 4ac 0 就可求出方程的根 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有两个实数根 强调强调 用公式法解一元二次方程时 必须注意两点 将 a b c 的 值代入公式时 一定要注意符号不能出错 式子 b2 4ac 0 是公式的一部 分 通过解方程发现 归纳一元二次方 程的求根公式 三 自主应用 巩固新知 例例 用公式法解下列方程 1 2x2 x 1 0 2 x2 1 5 3x 3 x2 2x 1 2 0 4 4x2 3x 2 0 分析分析 用公式法解一元二次方程 需先确定 a b c 的值 再算出 b2 4ac 的值 最后代入求根公式求解 解解 说明说明 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根是由一元二次方程 的系数 a b c 确定的 2 在解一元二次方程时 可先把方程化为一般形式 然后在 b2 4ac 0 的前提下 把 a b c 的值代入 x 2 4 2 bbac a b2 4ac 0 中 可求得方程的两个根 3 由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 练习练习 37 1 主体探究 探究 利用公式法解一 元二次方程的一 般方法 进一步 理解求根公式 四 自主总结 拓展新知 1 求根公式的推导过程 2 用公式法解一元二次方程的一般步骤 先确定 a b c 的值 再算出 b2 4ac 的值 最后 代入求根公式求解 五 课堂作业 P42 5 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 7 课时 解一元二次方程 公式法 2 学 习 目 标 使学生能用 b2 4ac 的值判定一元二次方程的根的情况 学习重点使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况 学习难点 从具体题目来推出一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的 b2 4ac 的情况与 根的情况的关系 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 用公式法解下列方程 根据方程根的情况你有什么结论 2x2 3x 0 3x2 23x 1 0 4x2 x 1 0 二 自主交流 探究新知 探究探究 根据问题填写下表 方程b2 4ac 的值b2 4ac 的符号 x1 x2的关系 填相等 不等或不存在 2x2 3x 09 0不相等 3x2 23x 1 0 0 0相等 4x2 x 1 0 150 0 时 根据平方根的意义 2 4bac 等于一个具体数 所以一元一次方程的 x1 2 4 2 bbac a x1 2 4 2 bbac a 即有两个不相等的实根 当 b2 4ac 0 时 根据平方根的意 义 2 4bac 0 所以 x1 x2 2 b a 即有两个相等的实根 当 b2 4ac0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个 学生在思考的 基础上分组讨 论 利用一元 二次方程的知 识解决上述问 题 同时熟悉 一元二次方程 的两种解法 公式法和配 方法 进一步 体会一元二次 方程的根与 b2 4ac 的关 系 不相等实数根即 x1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 当 b2 4ac 0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个相等实数 根即 x1 x2 a b 2 当 b2 4ac0 的解集 用含 a 的式子表示 分析分析 要求 ax 3 0 的解集 就是求 ax 3 的解集 那么就转化为要判 定 a 的值是正 负或 0 因为一元二次方程 a 2 x2 2ax a 1 0 没有实数根 即 2a 2 4 a 2 a 1 0 就可求出 a 的取值范围 解 关于 x 的一元二次方程 a 2 x2 2ax a 1 0 没有实数根 2a 2 4 a 2 a 1 4a2 4a2 4a 8 0 a0 即 ax 3 x 3 a 所求不等式的解集为 x0 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实根 b2 4ac 0 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个相等的实根 b2 4ac 0 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 没有实数根及其应用 五 课堂作业 P42 4 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 8 课时 解一元二次方程 因式分解法 学 习 目 标 1 使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想 会用因式分解法解某 些一元二次方程 2 使学生会根据目的具体情况 灵活运用适当方法解一元二次议程 从而提高 分析问题和解决问题的能力 学习重点用因式分解法一元二次方程 学习难点理解因式分解法解一元二次方程的基本思想 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 1 根据物理学规律 如果把一个物体从地面以 10m s 的速度竖 直上抛 那么经过 xs 物体离地的高度 单位 m 为 10 x 4 9x2 你能根据上 述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 精确到 0 01s 设物体经过 xs 落回地面 这时它离地面的高度为 0 即 10 x 4 9x2 0 思考思考 除配方法或公式法以外 能否找到更简单的方法解方程 分析分析 方程 的右边为 0 左边可以因式分解得 x 10 4 9x 0 于是得 x 0 或 10 4 9x 0 x1 0 x2 04 2 49 100 上述解中 x204 2 表示物体约在 2 04s 时落回地面 而 x1 0 表示物体 被上抛离开地面的时刻 即 0s 时物体被抛出 此刻物体的高度是 0m 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容 二 自主交流 探究新知 探究探究 解下列方程 从中你能发现什么新的方法 1 2x2 4x 0 2 x2 4 0 归纳归纳 利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于 0 的形式 再使 这两个一次式分别等于 0 从而实现降次 这种解法叫做因式分解法 在学生解决问题 的基础上引导学 生探索利用因式 分解解方程的方 法 感受因式分 解的作用以及能 够解方程的依 据 三 自主应用 巩固新知 例例 1 解方程 x2 3x 10 0 x2 11x 28 0 x 3 x 1 5 5x2 2x 4 1 x2 2x 4 3 说明说明 用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是 0 另一 边可以分解因式 解 强调强调 将原方程变形为一边是 0 这一步很重要 因为只有当一边是 0 即两个因式的积是 0 两个因式才分别是 0 从而得到两个一元一次方程 小结小结 因式分解法解一元二次方程的步骤 将一元二次方程化成一般形式 即方程右边为 0 将方程左边进行因式分解 由一元二次方程转化成两个一元一次方 程 对两个一元一次方程分别求解 例例 2 解方程 x x 2 x 2 0 3x x 2 5 x 2 3x 1 2 5 0 x2 6x 9 5 2x 2 分析分析 这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式 然后 再用公式法或因式分解法来解 但这样做比较麻烦 根据这两个方程的特点 直接应用因式分解法较简便 解 说明说明 用因式分解法解一元二次方程时 要根据情况灵活选用学过 的因式分解的几种方法 不能出现失根的情况 如解方程 x2 3x 0 时 方程 两边同除以 x 得 x 3 0 解得 x 3 这样就失掉了 x 0 这一个根 练习练习 40 1 2 应用提高 拓展 创新 培养学生 的应用意识和创 新能力 四 自主总结 拓展新知 1 用因式分解法解方程的根据由 ab 0 得 a 0 或 b 0 即 二次降为一次 2 正确的因式分解是解题的关键 五 课堂作业 P43 6 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 9 课时 一元二次方程的根与系数的关系 1 学 习 目 标 1 掌握一元二次方程根与系数的关系 会运用关系定理求已知一元二次方程的 两根之和及两根之积 并会解一些简单的问题 2 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程 培养学生的观察思考 归纳概 括能力 在运用关系解决问题的过程中 培养学生解决问题能力 渗透整体的 数学思想 求简思想 学习重点一元二次方程的根与系数的关系及运用 学习难点定理的发现及运用 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 解下列方程 将得到的解填入下面的表格中 观察表中 x1 x2 x1 x2的值 它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系 从中你能发现什么规律 一元二次方程x1x2x1 x2 x1 x2 2 x 6x 16 0 2 x 2x 5 0 2 2 x 3x 1 0 5 2 x 4x 1 0 通过学生计算一 些特殊的一元二 次方程的两根之 和与两根之积 启发学生从中发 现存在的一般规 律 渗透特殊到 一般的思考方法 二 自主交流 探究新知 探究探究 一般地 对于关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 用 求根公式求出它的两个根 x1 x2 由一元二次方程 ax2 bx c 0 的求根公 式知 x1 a acbb 2 4 2 x2 a acbb 2 4 2 能得出以下结果 x1 x2 a b 即 两根之和等于 x1 x2 a c 即 两根之积等于 特殊的 若一元二次方程 2 x px q 0 的两根为 1 x 2 x 则 x1 x2 p x1 x2 q 如果把方程 ax2 bx c 0 a 0 的二次项系数化为 1 则方程变形为 让学生自己发现 规律 找到成功 感 再从理论上 加以验证 让学 生经历从特殊到 一般的科学探究 过程 x2 a b x a c 0 a 0 则以 x1 x2为根的一元二次方程 二次项系数为 1 是 x2 x1 x2 x x1x2 0 a 0 三 自主应用 巩固新知 例例 1 1 求下列方程的两根之和与两根之积 1 2 x 6x 15 0 2 5x 1 4 2 x 3 2 x 4 4 2 2 x 3x 5 2 x k 1 x 2k 1 0 x 是未知数 k 是常数 例例 2 2 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根为 2 求它的另一个根及 k 的值 解解 设方程的另一个根是 x1 那么 5 6 2 1 x x1 又 x1 2 5 k k 例例 3 3 利用根与系数的关系 求一元二次方程 2x2 3x 1 0 的两个根 的 1 平方和 2 倒数和 解解 设方程的两个根分别为 x1 x2 那么 x1 x2 x1x2 1 x1 x2 2 x12 2 x22 x12 x22 x1 x2 2 2 2 2121 11 xxxx 练习练习 42 练习 让学生初步学会 运用根与系数的 关系来求两根和 与两根积 比较 简便 3 4 5 的设计加 深学生对根与系 数关系的本质理 解 进一步巩固根与 系数的关系 体 会 整体代入 思想在解题中的 运用 可起到简 便运算的作用 四 自主总结 拓展新知 不解方程 根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合 可求得一些代数式的值 求得方程的另一根和方程中的待定系数的值 1 先化成一般形式 再确定 a b c 2 当且仅当 b2 4ac 0 时 才能应用根与系关系 3 要注意比的符号 两个根的和 比前面有负号 两个根的积 比前面没有负号 五 课堂作业 P43 7 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 10 课时 一元二次方程的根与系数的关系 2 学 习 目 标 1 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 2 灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题 3 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力 学习重点一元二次方程根与系数关系的应用 学习难点某些代数式的变形 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 1 若一元二次方程 x2 10 x 16 0 的两根是 x1 x2 则 x1 x2 x1 x2 问题问题 2 关于x的方程1042 2 kxx的一个根是 2 则方程的另 一根是 k 问题问题 3 甲乙同时解方程 2 x px q 0 甲抄错了一次项系数 得两根 为 2 7 乙抄错了常数项 得两根为 3 10 则 p q 问题问题 4 以 3 和 5 为根的一元二次方程是 通过巩固练习 及 时巩固定理 再 次体会一元二次 方程的根与系数 的关系 培养思 维的灵活性 二 自主交流 探究新知 例例 1 1 1 x 2 x是方程0532 2 xx的两个根 不解方程 求下列 代数式的值 1 2 2 2 1 xx 2 21 xx 3 2 2 2 2 1 33xxx 解解 1 2 2 2 1 xx 21 2 21 2 xxxx 4 1 7 2 21 xx 21 2 21 4 xxxx 2 1 3 3 原式 32 2 2 2 2 2 2 1 xxxx 5 4 1 7 4 1 12 例例 2 2 若一元二次方程 2 x ax 2 0 的两根满足 2 1 x 2 2 x 12 求 a 的值 考察学生灵活运 用知识解决问题 能力 让学生感 受到根与系数的 关系在解题中的 运用 同时也考 察学生思维的严 密性 根据情况 可再进一步变式 例例 3 3 已知关于x的方程 22 1 1 10 4 xkxk 且方程两实 根的积为 5 求k的值 解 解 方程两实根的积为 5 22 2 12 1 1 4 1 0 3 4 4 12 15 4 kk kk x xk 所以 当4k 时 方程两实根的积为 5 例例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2 k 1 x k2 1 0 有两个 不相等的实数根 1 求实数 k 的取值范围 2 0 可能是方程的一个根吗 若是 请求出它的另一个根 若不是 请说明理由 分析分析 这是一道确定待定系数 m 的一元二次方程 又讨论方程解 的情况的优秀考题 需要考生具备分类讨论的思维能力 解解 1 2 k 1 2 4 k2 1 4k2 8k 4 4k2 4 8k 8 原方程有两个不相等的实数根 8k 8 0 解得 k 1 即实数 k 的取值范围是 k 1 2 假设 0 是方程的一个根 则代入得 02 2 k 1 0 k2 1 0 解得 k 1 或 k 1 舍去 即当 k 1 时 0 就为原方程的一个根 此时 原方程变为 x2 4x 0 解得 x1 0 x2 4 所以它的另一个根 是 4 如两根互为相反 数 两根的倒数 和 等于 2 等 根据一元二次方 程两实根满足的 条件 求待定字 母的值 务必要 注意方程有两实 根的条件 即所 求的字母应满足 0 三 自主演练 巩固新知 1 方程 2x 1 3x 1 x2 2 化为一般形式为 其中 a b c 2 关于 x 的一元二次方程 mx2 nx m2 3m 0 有一个根为零 则 m 的值等于 3 关于 x 的一元二次方程 x2 mx n 0 的两个根为 x1 1 x2 2 则 x2 mx n 分解因式的结果 是 4 关于 x 的一元二次方程 2x2 3x a2 1 0 的一个根为 2 则 a 的值是 A 1 B 3 C 3 D 3 5 若关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 5x m2 3m 2 0 的常数项为 0 则 m 的值等于 A 1 B 2 C 1 或 2 D 0 四 课堂作业 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 11 课时 实际问题与一元二次方程 1 学 习 目 标 1 会根据具体问题 按一定传播速度传播问题 数字问题和利润问题 中的数 量关系列一元二次方程并求解 2 能根据问题的实际意义 检验所得结果是否合理 3 进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键 学习重点列一元二次方程解决实际问题 学习难点找出实际问题中的等量关系 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 有一人患了流感 经过两轮传染后 有 121 人患了流感 每轮 传染中平均一个人传染了几个人 分析分析 设每轮传染中平均一个人传染 x 个人 开始有一人患了患流感 第一轮的传染源就是这个人 他传染了 x 个 人 用代数式表示第一轮后 共有 人患了流感 第二轮传染中 这些人中每一个人又传染了 x 人 用代数式表示 第二轮后 共有 人患流感 根据等量关系列方程 解这个方程得 平均一个人传染了 个人 如果按照这样的传播速度 三轮传染后 有 人患流感 使学生充分体会 传播问题 培养 学生对传播问题 的解题能力 二 自主应用 巩固新知 例例 1 某种植物的主干长出若干数目的支干 每个支干又长出同样数 目的小分支 主干 支干和小分支的总数是 91 每个支干长出多少小分支 分析分析 设每个支干长出 x 个小分支 则主干上长出 x 个分支 x 个分 支上共长出 x2个小分支 主干 支干和小分支的总数可用代数式 1 x x2表示 依题意可列方程 1 x x2 91 解解 设每个支干长出 x 个小分支 依题意可列方程 1 x x2 91 解这个方程 得 x1 9x2 10 负根不合题意 合去 答 每个支干长出 9 个小分支 例例 2 一个两位数 它的两个数字之和为 6 把这两个数字交换位置 后所行的两位数与原两位数的积是 1008 求原来的两位数 分析分析 设原来的两位数的个位数字为 x 则十位数字为 6 x 则原 两位数为 10 6 x x 新两位数为 10 x 6 x 依题意可列方程 10 6 x x 10 x 6 x 1008 解解 x1 2x2 4 例例 3 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场 分析 若每千克 50 元销售 一个月能售出 500kg 销售单价每涨 1 元 月 销售量就减少 10kg 针对这种水产品情况 请解答以下问题 1 当销售单价定为每千克 55 元时 计算销售量和月销售利润 2 设销售单价为每千克 x 元 月销售利润为 y 元 求 y 与 x 的关系 式 3 商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下 使得月销售利润 达到 8000 元 销售单价应为多少 分析分析 1 销售单价定为 55 元 比原来的销售价 50 元提高 5 元 因 此 销售量就减少 5 10kg 2 销售利润 y 销售单价 x 销售成本 40 销售量 500 10 x 50 3 月销售成本不超过 10000 元 那么销售量就不超过 10000 40 250kg 在这个提前下 求月销售利润达到 8000 元 销售单价应 为多少 解解 1 销售量 500 5 10 450 kg 销售利润 450 55 40 450 15 6750 元 2 y x 40 500 10 x 50 10 x2 1400 x 40000 3 由于水产品不超过 10000 40 250kg 定价为 x 元 则 x 400 500 10 x 50 8000 解得 x1 80 x2 60 当 x1 80 时 进货 500 10 80 50 200kg250kg 舍去 三 自主总结 拓展新知 1 列一元二次方程解应用题的步骤 审 设 找 列 解 答 最后要检验根是否符合 实际意义 2 对于数字问题应注意数字的位置值 四 课堂作业 P45 2 3 5 6 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 12 课时 实际问题与一元二次方程 2 学 习 目 标 1 会根据具体问题 增长率 降低率问题和利润率问题 中的数量关系列一元 二次方程并求解 2 能根据问题的实际意义 检验所得结果是否合理 3 进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键 学习重点如何解决增长率与降低率问题 学习难点 解决增长率与降低率问题的公式 a 1 x n b 其中 a 是原有量 x 为增长 或降 低 率 n 为增长 或降低 的次数 b 为增长 或降低 后的量 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主学习 感受新知 问题问题 某商店 10 月份的营业额为 5000 元 12 月份上升到 7200 元 平均每月增长百分率是多少 分析分析 如果设平均每月增长的百分率为 x 则 11 月份的营业额为 5000 1 x 元 12 月份的营业额为 5000 1 x 1 x 元 即 5000 1 x 2元 由此就可列方程 5000 1 x 2 7200 说明说明 此例是增长率问题 如题目无特别说明 一般都指平均增长 率 增长率是增长数与基准数的比 增长率 增长数 基准数 设基准数为 a 增长率为 x 则一月 或一年 后产量为 a 1 x 二月 或二年 后产量为 a 1 x 2 n 月 或 n 年 后产量为 a 1 x n 如果已知 n 月 n 年 后总产量为 M 则有下面等式 M a 1 x n 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程 二 自主应用 巩固新知 例例 1 1 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元 生产 1 吨乙种药品 的成本是 6000 元 随着生产技术的进步 现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元 生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元 哪种药品成本的年平均下降 率较大 分析分析 甲种药品成本的年平均下降额为 5000 3000 2 1000 元 乙种药品成本的年平均下降额为 6000 3600 2 1200 元 乙种药品成本的年平均下降额较大 但是 年平均下降额 元 不等同于 年平均下降率 若设甲种药品平均下降率为 x 则一年后 甲种药品的成本下降了 元 此时成本为 元 两年后 甲种药品下降了 元 此时成本为 元 对甲种药品而言根据等量关系列方程为 解这个方程得 甲种药品成本的年平均下降率为 同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率 并比较哪种药 品成本的平均下降率较大 思考经过计算 你能得出什么结论 成本下降额较大的药品 它的下 降率一定也较大吗 应怎样全面地比较几个对象的变化状况 说明说明 经过计算 成本下降额较大的药品 它的成本下降率不一定较 大 应比较降前及降后的价格 例例 2 2 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行 到期后支取 1000 元用于购物 剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行 若存 款的利率不变 到期后本金和利息共 1320 元 求这种存款方式的年利率 分析分析 设这种存款方式的年利率为 x 第一次存 2000 元取 1000 元 剩下的本金和利息是 1000 2000 x 80 第二次存 本金就变为 1000 2000 x 80 其它依此类推 解解 设这种存款方式的年利率为 x 则 1000 2000 x 80 1000 2000 x 8 x 80 1320 整理 得 1280 x2 800 x 1600 x 320 即 8x2 15x 2 0 解得 x1 2 不符 舍去 x2 1 8 0 125 12 5 答 所求的年利率是 12 5 三 自主总结 拓展新知 1 列一元二次方程解应用题的步骤 审 设 找 列 解 答 最后要检验根是否符合实 际意义 2 若平均增长 降低 率为 x 增长 或降低 前的基数是 a 增长 或降低 n 次后的量 是 b 则有 bxa n 1 常见 n 2 四 课堂作业 48 7 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 13 课时 实际问题与一元二次方程 3 学 习 目 标 1 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题 2 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课 解决新课中的问 题 学习重点 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实 际问题 学习难点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型 教 学 互 动 设 计设计意图 一 自主交流 探究新知 问题问题1 要设计一本书的封面 封面长27 cm 宽 21 cm 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一 上下边衬等宽 左右边衬等宽 应如何设计四周边衬的宽 度 精确到0 1 cm 分析分析 1 中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之 比为 27 21 9 7 由此可以判定 上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9 7 若设上 下边衬的宽均为 9xcm 则左 右边衬的宽均为 7xcm 依 题意 得 中央矩形的长为 27 18x cm 宽为 21 14x cm 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 1 4 则中央矩形的面积是 封面面积的 3 4 所以 27 18x 21 14x 3 4 27 21 整理 得 16x2 48x 9 0 解方程 得 x 63 3 4 x1 2 8cm x2 0 2 所以 9x1 25 2cm 舍去 9x2 1 8cm 7x2 1 4cm 因此 上下边衬的宽均为 1 8cm 左 右边衬的宽均为 1 4cm 分析分析 2 设正中央的矩形两边分别为 9xcm 7xcm 依题意得 2127 4 3 79 xx 解方程 得 2 33 1 x 2 33 2 舍去不合题意 x 在某些解法中 利用图形变换简 化数量关系是解 决图形有关问题 的一种重要手 段 使学生体会列方 程与解方程的完 整结合 通过多 种方法解得相同 故上下边衬的宽度为 8 1 4 32754 2 2 33 927 2 927 x 左右边衬的宽度为 4 1 4 32142 2 2 33 721 2 721 x 结论 验证多种 方法的正确性 通过解题过程的 对比 体会对已 知数量关系的适 当变形对解题的 影响 丰富解题 经验 二 自主应用 巩固新知 例例1 1 如图 某中学为方便师生活动 准 备在长30 m 宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四 条小路 横纵路的宽度之比为3 2 若使余下的 草坪面积是原来草坪面积的四分之三 则路宽应 为多少 分析分析 若设小路的横路宽为 3xm 则纵路宽为 2 xm 我们利用 图形 经过移动 它的面积大小不会改变 的道理 把纵 横四条路移动一下 目 的是求出路面的宽 至于实际施工 仍可按原图的位置修路 则余下的草 坪面积可用含 x 的代数式表示为 32 4x 20 6x m 又由题意可知余下草坪的 面积为原草坪面积的四分之三 则可列方程 2032 4 3 620 432 xx 解解 例例 2 2 某林场计划修一条长 750m 断面为等腰梯形的渠道 断面面积 为 1 6m2 上口宽比渠深多 2m 渠底比渠深多 0 4m 1 渠道的上口宽与渠底宽各是多少 2 如果计划每天挖土 48m3 需要多少天才能把这条渠道挖完 分析分析 因为渠深最小 为了便于计算 不妨设渠深为 xm 则上口宽为 x 2 渠底为 x 0 4 那么 根据梯形的面积公式便可建模 解解 1 设渠深为 xm 则渠底为 x 0 4 m 上口宽为 x 2 m 依题意 得 1 2 x 2 x 0 4 x 1 6 整理 得 5x2 6x 8 0 解得 x1 4 5 0 8m x2 2 舍 上口宽为 2 8m 渠底为 1 2m 2 1 6 750 48 25 天 答 渠道的上口宽与渠底深各是 2 8m 和 1 2m 需要 25 天才能挖完渠 道 使学生熟悉问题 1 中的解题思想 在数量关系中做 进一步的分析 然后引导学生针 对图形作进一步 的探究 三 自主总结 拓展新知 本节课应掌握 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解 决实际问题 四 课堂作业 P48 8 课堂内外 对应练习 教学理念 教学反思 第 14 15 课时 一元二次方程 小结与复习 学 习 目 标 1 一元二次方程的相关概念 2 灵活运用直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法解一元二次方程 3 能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况 4 能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题 5 构造一元二次方程解决简单的实际问题 学习重点运用知识 技能解决问题 学习难点解题分析能力的提高 教 学 互 动 设 计 一 知识梳理 1 一元二次方程的概念 等号两边都是 整式 只含有 一 个求知数 一元 并且求知 数的最高次数是 2 二次 的方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 其中 ax2是二次项 a 是二次项系数 bx 是一次项 b 是一次项系数 c 是常数项 3 一元二次方程的解法 直接开方法 配方法 公式法 因式分解法 4 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式是 b2 4ac 当 0 时 方程有两个不相 等的实数根 当 0 时 方程有两个相等的实数根 当 0 时 方程没有实数根 当 0 时 方程有实数根 5 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 当 b2 4ac 0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式为 x 2 4 2 bbac a 若一 元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 则 x1 x2 a b x1 x2 a c 若一元二次方程 2 x px q 0 的两根为 1 x 2 x 则 x1 x2 p x1 x2 q 6 一元二次方程的应用 二 基本知识训练 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 C A 2 2 1 0 x x B 2 0axbxc C 1 2 1xx D 22 3250 xxyy 2 某学校准备修建一个面积为 200 平方米的矩形花圃 它的长比宽多 10 米 设花圃的宽 为 x 米 则可列方程为 x x 10 200 化为一般形式为 x2 10 x 200 0 3 已知 1 是关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 1 0 的一个根 则 m 的值是 B A 1B 1C 0D 无法确定 4 咸宁市 2009 年平均房价为每平方米 2000 元 连续两年增长后 2011 年平均房价达到每 平方米 2420 元 设这两年平均房价年平均增长率为 x 依题意可列方程为 2000 1 x 2 2420 此方程适宜用直接开平方法解 5 用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2 2x 3 0 配方后的方程可以是 A A x 1 2 4 B x 1 2 4 C x 1 2 16 D x 1 2 16 6 若一元二次方程02 2 mxx有实数解 则 m 的取值范围是 B A 1 m B 1 m C 4 m D 2 1 m 7 下列一元二次方程两实数根和为 4 的是 D A x2 2x 4 0 B x2 4x 4 0 C x2 4x 10 0 D x2 4x 5 0 8 已知 m 和 n 是方程 2x2 5x 3 0 的两根 则 nm 11 3 5 三 典型例题分析 例例 1 1 用适当的方法解下列方程 x2 4x 2 0 1 1 2 3 8xxx 122 2 xxx 解 解 x 22 x1 1 x2 3 x 52 例例 2 2 已知 x 是一元二次方程 x2 2x 8 0 的根 求代数式 2 5 2 63 3 2 x x xx x 的 值 解解 2 5 2 63 3 2 x x xx x 2 9 2 3 3 2 x x xx x 3 3 2 2 3 3 xx x xx x 3 3 1 xx 又 x2 2x 8 0 x1 4 x2 2 但当 x 2 时原式无意义 故当 x 4 时原式 3 3 1 xx 12 1 例例 3 3 关于 x 的一元二次方程 x2 3x m 1 0 的两个实数根分别为 x1 x2 1 求 m 的取值范围 2 若 2 x1 x2 x1x2 10 0 求 m 的值 解解 1 原方程有两个实数根 9 4 m 1 0 解之得 4 13 m 2 由一元二次方程的根与系数的关系可知 x1 x2 3 x1x2 m 1 2 3 m 1 10 0 解之得 m 3 例例 4 4 如果方程 x2 px q 0 的两个根是 x1 x2 那么 x1 x2 p x1 x2 q 请根据 以上结论 解决下列问题 1 已知关于 x 的方程 x2 mx n 0 n 0 求出一个一元二次方程 使它的两根别是已 知方程两根的倒数 2 已知 a b 满足 a2 15a 5 0 b2 15b 5 0 求 a b b a 的值 3 已知 a b c 均为实数 且 a b c 0 abc 16 求正数 c 的最小值 解解 1 设 x2 mx n 0 n 0 的两根为 x1 x2 x1 x2 m x1 x2 n 1 1 x 2 1 x 12 12 xx x x m n 1 1 x 2 1 x 1 n 所求一元二次方程为 x2 mx n 1 n 0 即 nx2 mx 1 0 2 当 a b 时 由题意知 a b 是一元二次方程 x2 15x 5 0 的两根 a b 15 ab 5 a b b a 22 ab ab 2 2abab ab 152 5 5 47 当 a b 时 a b b a 1 1 2 a b b a 47 或 2 3 a b c 0 abc 16 a b c ab 16 c a b 是方程 x2 cx 16 c 0 的两根 c2 4 16 c 0 c 0 c3 64 c 4 c 的最小值为 4 例例 5 5 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售 由于部分菜农盲目 扩大种植 造成该蔬菜滞销 李伟为了加快销售 减少损失 对价格经过两次下调后 以每千 克 3 2 元的单价对外批发销售 1 求平均每次下调的百分率 2 小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜 因数量多 李伟决定再给予两种优惠方案以供选 择 方案一 打九折销售 方案二 不打折 每吨优惠现金 200 元 试问小华选择哪种方案更优惠 请说明理由 解 解 1 设平均每次下调的百分率为x 依题意可列方程 2 3 1 5 2 x 解这个方程 得2 0 1 x 8 1 2 x 因为降价的百分率不可能大于 1 所以8 1 2 x不符合题意 符合题目要求的是202 0 1 x 答 平均每次下调的百分率是 20 2 小华选择方案一购买更优惠 理由 方案一所需费用为 1440050009 02 3 元 方案二所需费用为 15000520050002 3 元 14400 0 k 4 3 且 k 2 13 已知 x1 x2是方程 2x2 14x 16 0 的两实数根 求 2 1 1 2 x x x x 的值 解解 由根与系数的关系 得 x1 x2 7 x1x2 8 2 1 1 2 x x x x