高三数学1.2 简易逻辑及充要条件课件.ppt

要点梳理1 简单的逻辑联结词 1 命题中的 叫做逻辑联结词 1 2简易逻辑及充要条件 基础知识自主学习 或 且 非 2 用来判断复合命题的真假的真值表 真 真 假 真 假 真 真 假 假 真 真 假 假 2 四种命题及其关系 1 四种命题 若q 则p 2 四种命题间的逆否关系 3 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 相同 没有关系 充分条件 必要条件 充要条件 基础自测1 下列语句是命题的是 求证是无理数 x2 4x 4 0 你是高一的学生吗 一个正数不是素数就是合数 若x r 则x2 4x 7 0 a b c d 解析 不是命题 是祈使句 是疑问句 而 是命题 其中 是假命题 如正数既不是素数也不是合数 是真命题 x2 4x 4 x 2 2 0恒成立 x2 4x 7 x 2 2 3 0恒成立 答案c 2 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 a 若xy 则x2 y2 c 若x y 则x2 y2 d 若x y 则x2 y2 c 3 2009 江西文 1 下列命题是真命题的为 a b 若x2 1 则x 1c 若x y 则d 若x y 则x2 y2解析得x y a正确 b c d错误 a 4 如果命题 p或q 为假命题 则 a p q均为真命题 b p q均为假命题 c p q中至少有一个为真命题 d p q中至多有一个为真命题 解析由题意知p或q为真命题 p q中至少有一个为真命题 故选c c 5 2009 四川文 7 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 c d cb a c与b d的大小无法比较 当a c b d成立时 假设a b cb 综上可知 a b 是 a c b d 的必要不充分条件 b 题型一命题的关系及命题真假的判断 例1 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 面积相等的两个三角形是全等三角形 2 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 3 若x2 y2 0 则实数x y全为零 题型分类深度剖析 写成 若p 则q 的形式 写出逆命题 否命题 逆否命题 判断真假 思维启迪 解 1 逆命题 全等三角形的面积相等 真命题 否命题 面积不相等的两个三角形不是全等三角形 真命题 逆否命题 两个不全等的三角形的面积不相等 假命题 2 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 假命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 假命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 真命题 3 逆命题 若实数x y全为零 则x2 y2 0 真命题 否命题 若x2 y2 0 则实数x y不全为零 真命题 逆否命题 若实数x y不全为零 则x2 y2 0 真命题 1 在写一个命题的逆命题 否命题 逆否命题时 首先要看这个命题是否有大前提 若有大前提 必须保留其大前提 大前提不能动 2 原命题和其逆否命题等价 探究提高 知能迁移1写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断其真假 1 若m n都是奇数 则m n是奇数 2 若x y 5 则x 3且y 2 解 1 逆命题 若m n是奇数 则m n都是奇数 假命题 否命题 若m n不都是奇数 则m n不是奇数 假命题 逆否命题 若m n不是奇数 则m n不都是奇数 假命题 2 逆命题 若x 3且y 2 则x y 5 真命题 否命题 若x y 5 则x 3或y 2 真命题 逆否命题 若x 3或y 2 则x y 5 假命题 题型二充要条件的判断 例2 指出下列命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 中选出一种作答 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 非空集合a b中 p x a b q x b 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 首先分清条件和结论 然后根据充要条件的定义进行判断 思维启迪 解 1 在 abc中 a b sina sinb 反之 若sina sinb 因为a与b不可能互补 因为三角形三个内角和为180 所以只有a b 故p是q的充要条件 2 易知 p x y 8 q x 2且y 6 显然q p 但pq 即q是p的充分不必要条件 根据原命题和逆否命题的等价性知 p是q的充分不必要条件 3 显然x a b不一定有x b 但x b一定有x a b 所以p是q的必要不充分条件 4 条件p x 1且y 2 条件q x 1或y 2 所以p q但qp 故p是q的充分不必要条件 探究提高判断p是q的什么条件 需要从两方面分析 一是由条件p能否推得条件q 二是由条件q能否推得条件p 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题 除借助集合思想把抽象 复杂问题形象化 直观化外 还可利用原命题和逆否命题 逆命题和否命题的等价性 转化为判断它的等价命题 知能迁移2 2009 安徽理 4 下列选项中 p是q的必要不充分条件的是 a p a c b d q a b且c db p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且a 1 的图象不过第二象限c p x 1 q x2 xd p a 1 q f x logax a 0 且a 1 在 0 上为增函数 解析a b c d a c b d 而a c b d却不一定推出a b c d 故a中p是q的必要不充分条件 b中 当a 1 b 1时 函数f x ax b不过第二象限 当f x ax b不过第二象限时 有a 1 b 1 故b中p是q的充分不必要条件 c中 因为x 1时有x2 x 但x2 x时不一定有x 1 故c中p是q的充分不必要条件 d中p是q的充要条件 答案a 题型三用 或 且 非 联结简单命题并判断其真假 例3 写出由下列各组命题构成的 p或q p且q p 形式的复合命题 并判断真假 1 p 1是质数 q 1是方程x2 2x 3 0的根 2 p 平行四边形的对角线相等 q 平行四边形的对角线互相垂直 3 p 0 q x x2 3x 5 0 r 4 p 5 5 q 27不是质数 1 利用 或 且 非 把两个命题联结成新命题 2 根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真假 思维启迪 解 1 p为假命题 q为真命题 p或q 1是质数或是方程x2 2x 3 0的根 真命题 p且q 1既是质数又是方程x2 2x 3 0的根 假命题 p 1不是质数 真命题 2 p为假命题 q为假命题 p或q 平行四边形的对角线相等或互相垂直 假命题 p且q 平行四边形的对角线相等且互相垂直 假命题 p 有些平行四边形的对角线不相等 真命题 3 0 p为假命题 q为真命题 p或q 0 或 x x2 3x 55 假命题 p或q p且q p 形式命题真假的判断步骤 1 确定命题的构成形式 2 判断其中命题p q的真假 3 确定 p或q p且q p 形式命题的真假 探究提高 知能迁移3写出由下列各组命题构成的 p且q p或q p 形式的复合命题 并判断真假 1 p 6 6 q 6 6 2 p 函数y x2 x 2的图象与x轴没有公共点 q 方程x2 x 2 0没有实根 解 1 p且q 6 6且6 6 假命题 p或q 6 6或6 6 真命题 p 6 6 真命题 2 p且q 函数y x2 x 2的图象与x轴没有公共点 且方程x2 x 2 0没有实根 真命题 p或q 函数y x2 x 2的图象与x轴没有公共点 或方程x2 x 2 0没有实根 真命题 p 函数y x2 x 2的图象与x轴有公共点 假命题 题型四充要条件的证明 例4 12分 求证方程ax2 2x 1 0有且只有一个负数根的充要条件为a 0或a 1 1 注意讨论a的不同取值情况 2 利用根的判别式求a的取值范围 解题示范 证明充分性 当a 0时 方程变为2x 1 0 其根为方程只有一负根 2分 当a 1时 方程为x2 2x 1 0 其根为x 1 方程只有一负根 4分 当a0 方程有两个不相等的根 思维启迪 证明充分性 当a 0时 方程变为2x 1 0 其根为方程只有一负根 2分 当a 1时 方程为x2 2x 1 0 其根为x 1 方程只有一负根 4分 当a0 方程有两个不相等的根 且 0 方程有一正一负根 6分 必要性 若方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根 当a 0时 适合条件 8分 当a 0时 方程ax2 2x 1 0有实根 则 4 4a 0 a 1 当a 1时 方程有一负根x 1 10分 若方程有且仅有一负根 综上方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根的充要条件为a 0或a 1 12分 探究提高 1 条件已知证明结论成立是充分性 结论已知推出条件成立是必要性 2 证明分为两个环节 一是充分性 二是必要性 证明时 不要认为它是推理过程的 双向书写 而应该进行由条件到结论 由结论到条件的两次证明 3 证明时易出现必要性与充分性混淆的情形 这就要分清哪是条件 哪是结论 知能迁移4求证方程x2 ax 1 0的两实根的平方和大于3的必要条件是 a 这个条件是其充分条件吗 为什么 证明设x2 ax 1 0的两实根为x1 x2 则平方和大于3的等价条件是 a 这个条件是必要条件但不是充分条件 思想方法感悟提高1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时 必须保留大前提 也就是大前提不动 对于由多个并列条件组成的命题 在写其它三种命题时 应把其中一个 或n个 作为大前提 2 数学中的定义 公理 公式 定理都是命题 但命题与定理是有区别的 命题有真假之分 而定理都是真的 方法与技巧 3 命题的充要关系的判断方法 1 定义法 直接判断若 p则q 若q则p 的真假 2 等价法 即利用的等价关系 对于条件或结论是否定式的命题 一般运用等价法 3 利用集合间的包含关系判断 若a b 则a是b的充分条件或b是a的必要条件 若a b 则a是b的充要条件 4 一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下 1 否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是只否定命题的结论 要注意区别 2 判断p与q之间的关系时 要注意p与q之间关系的方向性 充分条件与必要条件方向正好相反 不要混淆 3 p或q为真命题 只需p q有一个为真即可 p且q为真命题 必须p q同时为真 失误与防范 一 选择题1 2009 重庆文 2 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 a 若一个数是负数 则它的平方不是正数 b 若一个数的平方是正数 则它是负数 c 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 d 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 b 定时检测 2 2009 浙江理 2 已知a b是实数 则 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析当a 0且b 0时 一定有a b 0且ab 0 反之 当a b 0且ab 0时 一定有a 0 b 0 故 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的充要条件 c 3 2008 广东文 8 命题 若函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则loga20 a 1 在其定义域内不是减函数b 若loga20 a 1 在其定义域内不是减函数c 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数d 若loga20 a 1 在其定义域内是减函数 解析由互为逆否命题的关系可知 原命题的逆否命题为 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内不是减函数 答案a 4 已知a x x 1 1 x r b x log2x 1 x r 则x a是x b的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析a x x 2或x 0 b x x 2 x ax b 但x b x a b 5 2008 广东理 6 已知命题p 所有有理数都是实数 命题q 正数的对数都是负数 则下列命题中为真命题的是 a p 或q b p且q c p 且 q d p 或 q 解析不难判断命题p为真命题 命题q为假命题 从而上述叙述中只有 p 或 q 为真命题 d 6 2009 北京文 6 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析这说明外还可以取其他的值 所以的充分而不必要条件 a 二 填空题7 若 x 2 5 或x x x4 是假命题 则x的取值范围是 解析x 2 5 且x x x4 是真命题 由得1 x 2 1 2 8 设p 4x 3 1 q x a x a 1 0 若p是q的充分不必要条件 则实数a的取值范围是 解析p x 1 q a x a 1 易知p是q的真子集 9 2009 江苏 12 设和为不重合的两个平面 给出下列命题 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线 则平行于 若外一条直线l与内的一条直线平行 则l和平行