预测类数学模型.doc

天津理工大学中环信息学院 王武第二章 预测类数学模型本章重点：预测类数学模型的基本思想，掌握基本的数据拟合方法多项式数据拟合，灰色预测模型等。学习要求1能用基本的数学模型方法解决一些简单的预测类问题。2掌握基本拟合方法的原理与优缺点。2.1最小二乘法的基本原理和多项式拟合2.1.1 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,m)误差 (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,m)绝对值的最大值，即误差 向量的范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差 (i=0，1，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,m)的平方和最小，即 =从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.212.1.2 多项式拟合 所谓多项式数据拟合，主要是采用多项式函数形式来进行拟合、逼近数据所呈现出来的趋势。多项式的系数可以由最小二乘法计算出来。假设给定数据点 (i=0,1,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2)即 (3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得 (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 *2.1.3最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设节点互异，则法方程组（4）的解存在唯一。定理2 设是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。*2.1.4 多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且：正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；拟合节点分布的区间偏离原点越远，病态越严重； (i=0,1,，m)的数量级相差越大，病态越严重。为了克服以上缺点，一般采用以下措施：尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点关于原 点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。平移公式为： (9)对平移后的节点(i=0,1,，m),再作压缩或扩张处理： （10）其中,（r是拟合次数） （11） 经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设 为A，则对14次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下：拟合次数1234=19.950.3 format long; X0=98.6,104.4,107.3,120.1,115.9,109.7,98.7; %原始数据输入 n=length(X0); %定义原始数据长度 X1(1)=X0(1); %一次累加向量的第一个分量 for i=2:n %一次累加向量的其他分量X1(i)=X1(i-1)+X0(i)end for i=1:n-1 %计算B与YB(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1);B(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1);end alpha=(B*B)(-1)*B*Y; a=alpha(1,1); %灰微分方程或白化方程的系数估计 b=alpha(2,1); d=b/a; c=X1(1)-d; X2(1)=X0(1); X(1)=X0(1); for i=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);end %时间相应序列 for i=(n+1):(n+3)X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d;X(i)=X2(i)-X2(i-1); %预测序列end for i=1:nerror(i)=X(i)-X0(i);error1(i)=abs(error(i); %残差error2(i)=error1(i)/X0(i); %相对误差end c=std(error1)/std(X0); %相对误差的平方和通过上述程序求解有： ，时间响应序列为：还原后的数据：相对误差：误差平方和：0.498图3 预测效果图表3.4 20082010年上海房地产价格指数预测表年份200820092010上海106.95106.2710