高等数学武大社教案07第七章定积分的应用.docx

第七章 定积分的应用一、教学目标1.了解定积分在物理学中的应用；2.熟悉定积分的元素法；3.掌握定积分在几何上的应用.二、课时分配本章节共4个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.平面图形的面积；2.平行截面面积已知的立体体积和旋转体体积；3.平面曲线的弧长.四、教学难点1.微元法；2.定积分在物理学上的应用.五、教学内容第一节 定积分的微元法前面我们从分析解决曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个例子引入了定积分的概念.如果用定积分来表示的量U满足以下条件：(1) U依赖于区间a,b,当将a,b分成若干子区间后，量U成为对应于各子区间上分量U的和;(2) U依赖于区间a,b上的某函数;(3) 在a,b的微小子区间x,x+dx上对应的部分量Uf(x)dx.若记量U的微元为dU，即有UdU，U与dU的差是比dx高阶的无穷小.那么以dU=f(x)dx为积分表达式，从x=a到x=b的定积分baf(x)dx就是所求量U.综上可知，用定积分解决实际问题的方法和步骤如下：(1) 根据问题的实际情况，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间a,b;(2) 把区间a,b分成n个小区间，取其中一个小区间并记x,x+dx，求出该小区间上U的近似值dU,若dU=f(x)dx，就把f(x)dx称为量U的元素;(3) 以元素f(x)dx为积分表达式，在区间a,b上作定积分，得U=baf(x)dx.这种方法称为定积分的微元法.第二节 定积分的几何应用一、 平面图形的面积下面我们以求曲边梯形的面积为例，介绍如何用定积分来求平面图形的面积.设函数y=f(x)在区间a,b上连续，求由x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b(ab)所围成的图形的面积A.第一步：选积分变量xa,b和典型区间x,x+dxa,b;第二步：在x,x+dx上用矩形面积代替小曲边梯形面积A,f(x)为小矩形的高,则得到面积微元为dA=f(x)dx所求图形的面积为A=abf(x)dx通过类似地方法，我们可以得到如下几种图形的面积计算公式：A=ab(f1x-f2x)dxA=cd(1y-2y)dy【例1】求由曲线y=x2与直线x=2,x=3及x轴所围成的平面图形的面积【解】选积分变量为x,积分区间为2,3,面积微元为dA= x2dx,则所求图形的面积为A=23x2dx=13x332=1327-8=193【例2】计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围图形的面积.【解】为了定出图形所在范围,先求所给抛物线和直线的交点.解方程组y2=2xy=x-4得交点(2,-2),(8,4).取y为积分变量,得A=-24y+4-12y2dy=y22+4y-y364-2=18二、旋转体的体积由连续曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的几何体叫作旋转体.这个几何体的体积也可以用微元法讨论.第一步:选取积分变量xa,b和典型区间x,x+dxa,b.第二步:在子区间x,x+dx上,小旋转体的体积可以用以f(x)为半径,dx为高的小圆柱体的体积近似代替,而小圆柱体的体积为dV=f2(x)dx在a,b上积分得旋转体的体积为Vx=abf2(x)dx(7-3)用类似的方法,可求得由曲线x=g(y)及直线y=c,y=d与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积为Vy=cdg2(y)dy(7-4)【例3】求由y=1x,x=1,x=2及x轴所围图形绕x轴旋转所得的体积.【解】y=1x,a=1,b=2由式(7-3),可得Vx=aby2dx=121x2dx=12x-2dx=-x-121=-12-1=2三、平面曲线的弧长若曲线上每一点都具有切线,且切线随切点的移动而连续转动,则称该曲线为光滑曲线.如果函数y=f(x)在区间a,b上可导,且导数f(x)在a,b上连续,则曲线y=f(x)是区间a,b上一条光滑曲线.【例5】求悬链线y=12ex+e-x上介于x=-a和x=a之间的一段弧长s.【解】由y=12ex+e-x得弧微分ds=1+y2dx=1+14ex+e-x2dx=12ex+e-xdx于是s=-aads=-aa12ex+e-xdx=ea+e-a【例6】计算摆线一拱x=a(t-sint)y=a(1-cost),0t2的弧长.【解】ds=x2t+y2tdt=a2(1-cost)2+a2sin2tdt=2asint2dt于是,摆线一拱长s=02ds=02asint2dt=8a第三节 定积分的物理应用一、变力沿直线所做的功设有变力F=f(x)沿x轴将物体从点a处移动到点b处,求F所做的功.由于力F是变化的,所以常力做功的公式W=FS不再适用.我们可以用微元法来解决这类问题.取x为积分变量,积分区间为a,b,取典型区间x,x+dxa,b,在此区间x,x+dx上,力可以看成是不变的,因而在该小区间上力F=f(x)所做的功为dW=f(x)dx故变力所做的功是W=abf(x)dx【例2】在一个带+q电荷所产生的电场作用下,一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(ab),求电场力所做的功.【解】取x为积分变量,它的变化区间为a,b,在a,b上取典型区间x,x+dx,当单位正电荷从x移动到x+dx时,电场力F(x)所做的功的微元为dW=F(x)dx=kqx2dx所以电场力对单位正电荷在a,b上移动所做的功为W=abkqx2dx=kq-1xba=kq1a-1b二、液体的压力设垂直放置在液体中的薄板为曲边梯形,用微元法求薄板所受液体的压力.在深度x处取一宽度为dx的水平小薄板，其面积为f(x)dx.则压力微元为dP=gxf(x)dx于是可得液体的压力P=abgxf(x)dx其中为液体的密度.【例4】一底为8 cm,高为6 cm的等腰三角形片,垂直地沉没于水中,顶在上,底在下且与水面平行,其顶离水面3 cm,求它每面所受的压力【解】三角形片上对应于x,x+dx部分各点处的压强不同,现近似将其看作相同,设x处AB的长为a,则a8=x6,a=43xPg(x+3)43xdx所以dP=43gx(x+3)dx所受压力P=0643gxx+3dx=g343x3+6x260=1.65(N)第四节 定积分的经济应用一、已知边际函数求总量定积分的微分法在经济中应用非常广泛,如由边际需求求总需求,由边际成本求总成本,由边际收益求总收益,由边际利润求总利润等.【例1】某企业生产某种产品,其产量关于时间的变化率为Qt=-3t2+2t+30,计算开始生产5天后的总产量.( Qt的单位:个/天)【解】利用定积分计算5天后的总产量为Q0+05(-3t2+2t+30)dt=0+-t3+t2+30t50=50(个)二、投资问题设企业在0,T时间内的收入流的变化率为f(t),年利率为r,则总收入的现值为0Tf(t)e-rtdt,总收入的终值为0Tf(t)e(T-t)rdt.【例2】李某准备购买一套住房,现价40万元.如果以分期付款的方式要求每年付款2.8万元,需20年付清,而银行存款年利率为2%,按连续复利计算.请问购房者采用分期付款还是一次性付款更划算?【解】