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平面向量的平行与垂直 江都市第一中学 基础知识回顾 1 平行 共线 向量定义 方向或的非零向量叫平行向量 记作 2 垂直向量定义 若两个非零向量所成角为 则称这两个向量垂直 记作 相同相反 1 向量共线的充要条件 符号语言 坐标语言 2 非零向量垂直的充要条件 符号语言 坐标语言 设 x1 y1 x2 y2 则 一 基础训练 1 已知平面向量等于 2 已知平面向量 1 3 4 2 与垂直 则是 3 若三点共线 则k 9 1 8 例1 设a 4 1 b 2 3 c k 6 若 abc为直角三角形且 b 求k的值 变式 设a 4 1 b 2 3 c k 6 若 abc为直角三角形 求k的值 例2 如图所示 已知a 4 5 b 1 2 c 12 1 d 11 6 及p 6 4 求证 b p d三点共线 a p c三点共线 例2 如图所示 已知a 4 5 b 1 2 c 12 1 d 11 6 及p 6 4 求证 b p d三点共线 a p c三点共线 又共起点b 共起点a 则b p d三点共线 a p c三点共线 解 解 解 解 又共起点b 共起点a 则b p d三点共线 a p c三点共线 解 又共起点b 共起点a 则b p d三点共线 a p c三点共线 解 又共起点b 共起点a 则b p d三点共线 a p c三点共线 解 又共起点b 共起点a 则b p d三点共线 a p c三点共线 解 又共起点b 共起点a 则b p d三点共线 a p c三点共线 解 又共起点b 共起点a 则b p d三点共线 a p c三点共线 解 变式1 如图 例2 所示 已知a 4 5 b 1 2 c 12 1 d 11 6 且ac与bd相交于p 求 p点的坐标 解 依题意得 有 设则 与共线 与共线 即 解得 变式2 是不共线的两个非零向量 其中 且 若 三点共线 则 1 例3 2009宁夏 海南卷改编 已知o p在 则点o p依次是 填 外心 内心 垂心 重心 所在平面内 的 心 垂 变式 已知 为 所在平面内一点 满足 则点 是 的 心 垂 1 2 1 已知向量 若 则 若 则 2 已知向量 若向量 满足 则 是 3 0 练习 4 平面上三个向量 的模均为1 它们相互之间的夹角均为120 求证 5 已知 存在实数k和t 使得且若不等式恒成立 求a的取值范 解 有 得 故当t 2时 有最小值 小结1 向量的平行 共线 和垂直是向量夹角的两个特殊情形 两向量平行 共线 即向量的夹角为0或 两向量垂直即向量的夹角
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