高三数学大纲版2.1 映射、函数及反函数课件.ppt

1 映射 1 定义 设a b是两个集合 如果按照某种对应关系f 对于集合a中的 在集合b中都有的元素和它对应 那么 这样的对应 包括集合a b 以及集合a到集合b的对应关系f 叫做的映射 记作f a b 2 象和原象 给定一个集合a到b的映射 且a a b b 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的 元素a叫做b的 第二章函数 2 1映射 函数及反函数 要点梳理 集合a到集合b 原象 任何一个元素 惟一 象 2 函数 1 函数的定义设a b是非空的数集 如果按某个确定的对应关系f 使对于集合a中的 在集合b中 称f a b为从集合a到集合b的一个函数 x的取值范围a叫做函数的 叫做函数的值域 2 函数的三要素 和 3 函数的表示法表示函数的常用方法 定义域 值域 对应法则 定义域 函数值的集合 解析法 列表法 图象法 任何一个数x 都有惟一确定的数 f x 和它对应 f x x a 3 反函数 1 定义一般地 函数y f x x a 中 设它的值域为c 根据这个函数中x y的关系 用y把x表示出来 得到x y 如果对于y在c中的 通过x y x在a中都有 和它对应 那么 x y 就表示y是自变量 x是自变量y的函数 这样的函数x y y c 叫做函数y f x x a 的 记作 习惯上用x表示自变量 用y表示函数 把它改写成 2 互为反函数的函数图象的关系函数y f x 的图象和它的反函数y f 1 x 的图象关于直线对称 任何一个值 反函数 x f 1 y y f 1 x y x 惟一的值 1 与函数f x x 是相同函数的是 a b c d 解析b中y x x 0 c中y x x 0 d中y x 只有a中y x 故选a 2 设m x 0 x 2 n y 0 y 3 给出下列四个图形 如图所示 其中能表示从集合m到集合n的函数关系的有 基础自测 a c 解析根据函数定义 对于m中的任意一个x在n中都有唯一确定的y与之对应 因此 都表示从m到n的函数关系 3 若对应关系f a b是从集合a到集合b的一个映射 则下面说法错误的是 a a中的每一个元素在集合b中都有对应元素 b a中两个元素在b中的对应元素必定不同 c b中两个元素若在a中有对应元素 则它们必定不同 d b中的元素在a中可能没有对应元素 解析由映射概念可知 a中元素在b中必有惟一元素与它对应 b中元素在a中可以没有对应关系 即从a到b的对应关系可以是一对一 多对一 但不可以是一对多 b 4 如图所示 三个图象各表示两个变量x y的对应关系 则有 a 都表示映射 且 表示y为x的函数b 都表示y是x的函数c 仅 表示y是x的函数d 都不能表示y是x的函数解析据映射及函数的定义 在3个图象中 不能表示映射 也不能表示函数 是映射 也是函数 c 5 已知f x2 5x 则f x 解析 x 0 令 t 即x t 0 故f x 给出下列两个条件 1 f x 2 2 f x 为二次函数且f 0 3 f x 2 f x 4x 2 试分别求出f x 的解析式 思维启迪 1 对 1换元 2 设f x ax2 bx c 解 1 令t 1 t 1 x t 1 2 则f t t 1 2 2 t 1 t2 1 即f x x2 1 x 1 题型一求函数的解析式 2 设f x ax2 bx c a 0 f x 2 a x 2 2 b x 2 c 则f x 2 f x 4ax 4a 2b 4x 2 又f 0 3 c 3 f x x2 x 3 探究拓展求函数解析式的常用方法有 1 代入法 用g x 代入f x 中的x 即得到f g x 的解析式 2 拼凑法 对f g x 的解析式进行拼凑变形 使它能用g x 表示出来 再用x代替两边的所有 g x 即可 3 换元法 设t g x 解出x 代入f g x 得f t 的解析式即可 4 待定系数法 若已知f x 的解析式的类型 设出它的一般形式 根据特殊值 确定相关的系数即可 5 赋值法 给变量赋予某些特殊值 从而求出其解析式 已知函数 1 画出函数的图象 2 求f x f 1 f f 1 的值 思维启迪 考虑特殊函数的图象在某区间内的形状 特别要注意区间的端点处 解 1 分别作出f x 在x 0 x 0 x 0段上的图象 如图所示 作法略 2 f 1 12 1 f 1 1 f f 1 f 1 1 题型二分段函数 探究拓展分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的问题时 首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段 从而选相应的关系式 对于分段函数 注意处理好各段的端点 12分 某摩托车生产企业 上年度生产摩托车的投入成本为1万元 辆 出厂价为1 2万元 辆 年销售量为1000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应提高的比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度利润比上年有所增加 问投入成本增加的比例x应在什么范围内 思维启迪 准确理解题意 构建函数模型 题型三函数的实际应用 解 1 依题意 本年度每辆摩托车的成本为1 x 万元 而出厂价为1 2 1 0 75x 万元 销售量为1000 1 0 6x 辆 故利润y 1 2 1 0 75x 1 x 1000 1 0 6x 4分整理得y 60 x2 20 x 200 0 x 1 6分 2 要保证本年度利润比上一年有所增加 则y 1 2 1 1000 0 8分 即 60 x2 20 x 200 200 0 即3x2 x 0 10分 解得0 x 适合0 x 1 故为保证本年度利润比上年有所增加 投入成本增加的比 例x的取值范围是0 x 11分 答 1 函数关系式为y 60 x2 20 x 200 0 x 1 2 投入成本增加的比例x的范围是 0 12分 探究拓展函数的实际应用问题 要准确构建数学模型 求得函数解析式后 要写出函数的定义域 一般情况下 都要受到实际问题的约束 方法与技巧 1 函数的定义中最重要的是定义域和对应法则 值域是由定义域和对应法则确定的 在求f f x 类型的值时 应遵循先内后外的原则 2 判断两个函数是否为相同的函数 抓住两点 1 定义域是否相同 2 对应法则即解析式是否相同 注意 解析式可以化简 3 建立简单实际问题的函数式 首先要选定变量 而后寻找等量关系 求得函数解析式 但要注意定义域 失误与防范 1 判断对应是否为映射 即看a中元素是否满足 每元有象 和 且象惟一 但要注意 1 a中不同元素可有相同的象 即允许多对一 但不允许一对多 2 b中元素可无原象 即b中元素可有剩余 2 分段函数的定义域是各段区间的并集 各个段上的定义域交集为空集 即各个段的端点处不能重复 1 1 已知f lgx 求f x 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 3 已知f x 满足2f x f 3x 求f x 解 1 令 1 t 则x f t lg f x lg x 1 2 设f x ax b 则 3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17 a 2 b 7 故f x 2x 7 3 把 中的x换成得 2 得2 在同一平面直角坐标系中 函数y f x 和y g x 的图象关于直线y x对称 现将y g x 的图象沿x轴向左平移2个单位 再沿y轴向上平移1个单位 所得图象是由两条线段组成的折线 如图所示 则函数f x 的表达式为 a a b c d 解析方法一在图形上取a 0 1 a点向右移动两个单位 再向下移动1个单位得a 2 0 a 为函数y g x 上的点 f x 与g x 互为反函数 f x 过 0 2 排除b c d 故选a 方法二f x 与g x 互为反函数 设图中函数为 x 则 3 等腰梯形abcd的两底分别为ad 2a bc a bad 45 作直线mn ad交ad于m 交折线abcd于n 记am x 试将梯形abcd位于直线mn左侧的面积y表示为x的函数 并写出函数的定义域 解作bh ad h为垂足 cg ad g为垂足 依题意 则有ah ag a 1 当m位于点h的左侧时 n ab 由于am x bad 45 mn x y s amn x2 0 x 2 当m位于hg之间时 由于am x mn bn x y s直角梯形amnb 3 当m位于点g的右侧时 由于am x mn md 2a x y s梯形abcd s mdn 1 下列函数中 与函数y x相同的函数是 a b c d 解析y lg10 x x x r y 2log2x x x 0 2 b3 若 则f 1 的值为 a 1b 2c 3d 4解析f 1 f 2 f 5 f 8 log28 3 c c 4 c5 c6 2008 陕西理 11 定义在r上的函数f x 满足f x y f x f y 2xy x y r f 1 2 则f 3 等于 a 2b 3c 6d 9 解析f 1 f 0 1 f 0 f 1 2 0 1 f 0 f 1 f 0 0 f 0 f 1 1 f 1 f 1 2 1 1 f 1 f 1 2 f 1 0 f 1 f 2 1 f 2 f 1 2 2 1 f 2 f 1 4 f 2 2 f 2 f 3 1 f 3 f 1 2 3 1 f 3 f 1 6 f 3 6 c 7 128 9 1 f x x2 x 1 2 10 已知函数f x 和g x 的图象关于原点对称 且f x x2 2x 1 求g x 的解析式 2 解不等式g x f x x 1 解 1 设函数y f x 的图象上任一点q x