高中数学第一章数II1.2任意角的1.2.2单位圆与三角函数线示范教案.docx

1.2.2 单位圆与三角函数线示范教案教学分析从初中的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数，是学生在三角函数认知结构上的一次质的飞跃要使这次认知结构的飞跃在课堂上顺利完成，关键是抓住三角函数的定义，其媒介是从初中的直角三角形转化为高中的平面直角坐标系因此，准确理解任意角的三角函数定义是极其重要的在上一节三角函数的定义中，分析教材图110，以OA为半径画单位圆学生很容易发现比值可转化为坐标轴上的点的坐标来表示在坐标轴上，把点的坐标与点的位置向量对应起来，即定义三角函数线，这样可更形象地研究三角函数的性质利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质三角函数的单位圆模型，是研究三角函数最得力的工具从这一节开始，教材基本上都是利用单位圆来研究三角函数的性质与图象的三维目标1通过借助单位圆，理解并进一步掌握三角函数定义2掌握三角函数线的定义，初步掌握利用单位圆分析和解决三角函数问题3能通过单位圆上点的运动，初步了解各三角函数值的变化情况，为学习后面三角函数性质打下基础重点难点教学重点：三角函数线的定义教学难点：正确利用单位圆中轴上向量将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来课时安排1课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？思路2.(复习导入)由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来推进新课(1)回忆上节课学习的三角函数定义并思考：三角函数的定义能否用几何中的方法来表示，怎样探究这种表示呢？,(2)怎样理解轴上的向量？活动：指导学生在教材图110中，作出单位圆，我们把半径为1的圆叫做单位圆(图1)设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A(1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B(0，1)图1设角的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(图1(1)，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影)由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos，sin)，即P(cos，sin)，其中cosOM，sinON.于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有siny，cosx.这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T)(图1(2)，则tanAT(或AT)我们把轴上向量， 和(或)分别叫做的余弦线、正弦线和正切线当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM1或1.当角的终边在y轴上时，正弦线MP1或1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在讨论结果：(1)略；(2)略活动：师生共同讨论，最后一致得出以下几点：(1)当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在(2)当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点(3)正弦线、余弦线、正切线都是轴向量，即与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线讨论结果：(1)略；(2)略例 1如图2，的终边分别与单位圆交于点P，Q，过A(1,0)作切线AT，交图2射线OP于点T，交射线OQ的反向延长线于T，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sin_，cos_，tan_，sin_，cos_，tan_.活动：根据三角函数线的定义可知，sinMP，cosOM，tanAT，sinNQ，cosON，tanAT.答案：MPOMATNQONAT点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.变式训练利用三角函数线证明|sin|cos|1.解：当的终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于r，所以|sin|cos|1.当角终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有|sin|cos|OM|MP|1，|sin|cos|1.2分别作出和的正弦线、余弦线和正切线解：在直角坐标系中作单位圆，如图3，以Ox轴正方向为始边作的终边与单位圆交于P点，作PMOx轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sinMP，cosOM，tanAT，图3即的正弦线为，余弦线为，正切线为.同理可作出的正弦线、余弦线和正切线，如图3中，sin()MP，cos()OM，tan()AT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边或终边所在的范围，并由此写出角的集合：(1)sin；(2)sin.活动：引导学生画出单位圆，对于(1)，可设角的终边与单位圆交于A(x，y)，则siny，所以要作出满足sin的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点A，则OA即为角的终边；对于(2)，可先作出满足sin的角的终边，然后根据已知条件确定角的范围解：(1)作直线y交单位圆于A与B两点，连结OA，OB，则OA与OB为角的终边，如图4所示图4故满足条件的角的集合为|2k或2k，kZ(2)作直线y交单位圆于A与B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图4中的阴影部分)即为角的终边所在的范围故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ点评：在解简单的特殊值(如，等)的等式或不等式时，应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交，连结交点与坐标原点作射线)，一般情况下，用(0,2)内的角表示它，然后画出满足原等式或不等式的区域，用集合表示出来.变式训练已知sin，求角的集合解：作直线y交单位圆于点P，P，则sinPOxsinPOx，在0,2)内POx，PPx.满足条件的集合为|2k2k，kZ.4求下列函数的定义域：(1)ylogsinx(2cosx1)；(2)ylg(34sin2x)活动：先引导学生求出x所满足的条件，这点要提醒学生注意，研究函数必须在自变量允许的范围内研究，否则无意义再利用三角函数线画出满足条件的角x的终边范围求解时，可根据各种约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围，写出适合条件的x的取值集合解：(1)由题意，得即则(kZ)函数的定义域为x|2kx2k或2kx0，sin2x.sinx1；(2)sin2cos21.证明：如图7，记角与单位圆的交点为P，过P作PMx轴于M，则sinMP，cosOM.图7 (1)在RtOMP中，MPOMOP，即sincos1.(2)在RtOMP中，MP2OM2OP2，即sin2cos21.3求函数y的定义域答案：xk，k，kZ.1对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础2教师要把握好深度让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决3教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力一、一个三角不等式的证明已知(0，)，求证：sintan.证明：如图8，设锐角的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T，过点P作PMx轴于点M，则MPsin，ATtan，的长为，连结PA.图8SOPAS扇形OPASOAT，|OA|MP|OA|2|OA|AT|.|MP|AT|，则MPAT，即sintan.二、备用习题1若，则sin，cos，tan的大小关系是()Atancossin BsintancosCcostansin Dcossintan2若02，则使sin同时成立的的取值范围是()A(，) B(0，)C(，2) D(0，)(，2)3在(0,2)内，使sinxcosx成立的x的