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多解问题探源 物理习题出现多角的原因很多 这里略举几例 1 因为题设条件不确定引起的多解 如电荷的正负未知 波的传播方向不明 运动性质不定等等 2 反映物理过程规律的是二次函数 如电源的输出功率 匀变速运动的位移等 3 物理过程本身具有周期性 4 物理问题有多个边界 5 一个物理现象与多个物理现象相对应 如已知感应电流的方向则磁场的变化有两种可能 例题一 宇航员在某一星球上以速度V0竖直向上抛出一个小球 经过时间t小球又落回原抛出点 然后他又用一根长为L的细线把一个质量为M的小球悬挂在O点 使小球处于静止状态 如图所示 现在最低点给小球一个水平向右的冲量I 使小球能在竖直平面内运动 若小球在运动过程中始终对细线有力的作用 则冲量I的大小应满足什么条件 例题一分析与解答 本题因为符合条件的边界有两个学生一般能想到小球恰能运动到最高点这种情况在最高点Mg MV21 L V0 gt 2 0 g 2V0 t因机械能守恒MV20 2 2MgL MV12 2 如果在过O点的水平面以下摆动 摆角小于等于180 也符合题意 本题的解是一分段函数 例题二 从在地面上竖直上抛出一个物体 已知物体的初动能为EK0 物体受到空气的阻力是它的重力的1 n 问 当物体的重力势能为EP时它的动能是多少 分析与解答因物体有两次经过重力势能为EP的地方 本题有二个解 设重力势能为EP处离地高为h物体在上升过程EK1 EK0 1 1 n mgh 1 1 n EP 物体在下降过程中到达高为h处EK2 mg H h 2H h mg n 例题三 一宇宙人在重力可以忽略的太空中玩垒球 如图所示的太空球场有理想分界线MN 它的一侧是场强为E的匀强电场 另一侧是磁感应强度为B的匀强磁场 宇宙人位于电场中距MN为H的P点 PO垂直于MN D是MN上的一点 OD d 垒球的质量为m 带负电 电量为q 1 宇宙人在P点沿平行于MN方向击球 球未经磁场直接打中D点 求垒球被击中后的速度V1 2 宇宙人从P点沿平行于电场线方向击球 也恰好击中D点 求垒球被击中后的速度V2 例题三分析与解答 1 垒球在电场中作类平抛运动H Eqt2 2m V1t d 2 平行于电场线方向击球 球在磁场中的运动轨迹是一系列半圆 在电场中 由动能定理EqH mVt2 2 mV22 2 在磁场中圆周运动的半径r mVt Bq 若2rn d 则垒球经过D点 例题四 图示的装置在竖直平面内 要使带负电的油滴P静止在两平行的金属板之间 导体棒ab应如何运动 分析与解答 油滴P静止的条件是电场力向上即电容器中的电场方向向下 E 正极 负极 感应电动势的方向一定 磁通量的变化有两种可能 假设电容器内有感应电流则感应电流产生的磁场方向如图 可能之一 原磁场也向下且正减速小 则b端为电源正极且电流在减小 故ab向左减速运动 可能之二a为电源正极且电流一增大 故ab向右加速运动 例题五 图示的M N两板间距离为d 板长为5d 两板均不带电 两板之间有垂直纸面的匀强磁场 磁感应强度为B 一大群电子左端沿平行于板的方向从各处以相同的初速度射入磁场 已知电子的质量为m 电量为e 为确保电子都不穿出两板间的磁场 求电子进入磁场时的初速度 分析与解答 本问题因有两个可能的边界引起多解先画示意图 由图可知只要在兰色箭头处射入的电子不穿出磁场则所有电子均不会穿出磁场 r2 为防止电子从右边穿出磁场 半径不能大于r2 例题六 如图所示 质点A在某一时刻从与圆心O等高的a点开始在竖直平面内沿顺时针方向作匀速圆周运动 与此同时位于圆周顶点的质点B作自由落体运动 已知圆周的半径为R 求 1 质点A的角速度 满足什么条件时A与B才能相遇 2 质点A的角速度 满足什么条件时A的速度与B在圆周最低点的速度才会相等 分析与解答 1 A B相遇只能在d点 B的运动时间t是定值本题由于A圆周运动的周期性引起多解A运动到d点的时间t 3T 4 KT 2 B在最低点的速度是定值 A只有在c点时它的速度才可能与B相同 只有一个解 例题七 一列沿X轴正方向传播的波波速为6m s 在某时刻x1 5cm的A点运动到负向最大位移处 x2 8cm的B点恰好在平衡位置向Y轴正方向运动 求这列波的波长和频率 分析与解答本题由于间隔为波长的整数倍的质点振动同步引起多解先画示意图 V A B 两条图线是否都符合题意 例题八 两个相干声波 波源S1和S2振动步调一致 波长为2m S1在原点 S2的坐标为 0 4 如图所示 一人沿x轴正向行驶 求此人能听到强音时的位置坐标 两列波干涉使振动加强的位置有好多个 这是因为物理现象具有对称性引起的多解设人在P点是两声波相干涉的增强位置能听到强音 因此有下面关系 因为n 0的点不在X轴上 所以本题只有两个解 X 0和X 3 例题九 两个定值电阻 把它们串联起来 等效电阻是4 把它们并联起来 等效电阻是1 求 1 这两个电阻的阻值各为多少 2 如果把这两个电阻串联后接入一个电动势为E 内阻为r的电源两极间 两电阻消耗的总功率等于P1 如果把这两个电阻并联后接入同一电源两极间 两电阻消耗的总功率等于P2 若P1 9W 且P2 P1 求满足这一要求的E和r 分析与解答 1 R1 R2 4 1 R1 1 R2 1 R1 R 2 2 P1 E 4 r 2 4 9 E 6 1 5r P2 E 1 r 2 1 9 E2 9 18r 9r2 6 1 5r 2 9 1 r 2 6 1 5r 3 3r 2 r 06 1 5r 3 3r r 2 舍去 本题的完整解为E 6 1 5r 2 r 0 练习题1 在一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M与N 它们只能在如图所示的平面内摆动 某一时刻出现图示情景 由此对车厢的运动和单摆相对于车厢的运动情况可能是 A车厢作匀速运动 M在摆动 N静止B车厢作匀速运动 M在摆动 N也在摆动C车厢作匀速运动 M静止 N在摆动D车厢作匀加速直线运动 M静止 N也静止分析与解答 由图知若M相对于车厢静止则M有向右的加速度 若车厢作匀速运动则N可以 M不能与车相对静止故C错若车厢作匀加速运动则M球可以 N不能与车相对静止故D错正确选项是AB AB 练习题2 图示的匀强电场方向竖直向上 电场强度为E 有一个质量为m 带电量为 q的小球用长为L的绝缘细线系于电场中的O点 问 小球在最低点要以多大的水平速度V0运动 才能使它在竖直平面内作完整的圆周运动 分析与解答 本题多解是因为电场力与重力的大小关系不明确引起的 应该分三种情况来讨论 1 若Eq mg 则V0 0 2 若Eq mg 则Eq mg mV2 L 3 若Eq mg 则mg Eq mV12 L 且 2 mg Eq L mV12 2 mV02 2 练习题3 图示的A B是水平放置的足够长的平行板 板间距离d 1 0 10 2m A板中央有一个电子源P 它能在纸面内向各个方向发射速度在0 3 2 107m s范围内的电子 Q为P点正上方B板上的一点 若垂直纸面加一匀强磁场 磁感应强度B 9 1 10 3T 已知电子的质量为9 1 10 31 电子电量 1 6 10 19C 不计电子的重力和电子间的相互作用力 且电子打到B板均被吸收 并及时转移到大地 问 1 沿PQ方向发射的电子能击中A板和B板的哪些范围 2 若要求电子恰好击中Q点 电子的发射方向 用图中的 角表示 与电子的速度的大小V之间应满足的关系及各自相应的取值范围怎么样 练习题3分析与解答 1 本题因电子速度不确定而引起多解先找能击中B板的范围 M R1 d 速度最大的电子击中哪一点 Rmax 2d N D A板上能击中的范围是图中的PD 2d 0 02m 2 要击中Q点先看轨迹 有一条特殊的轨迹很容易得到 以任意角入射击中Q时 练习题4 图为测定子弹速度的装置 两个薄圆盘分别安装在一个匀速转动的轴上 两圆盘面平行 若圆盘以转速 3600 min旋转 子弹以垂直盘面方向射来 先打穿第一个圆盘 再打穿第二个圆盘 测得两圆盘间距离为1m 两圆盘上被子弹穿过的半径之间的夹角是15 求子弹穿过第一个圆盘后的速度 分析与解答 子弹在两圆盘间飞行的时间t 1 V这段时间内圆盘转过15 12 圆盘的角速度 2K 12 t 2K 12 V据题意 2 60 120 V 120 2K 12 m s K 0 1 2 3 本题因圆周运动的周期性引起多解 练习题5 在磁感应强度为B的匀强磁场中 垂直于磁场的光滑绝缘水平面上有相距为d的两点P和Q 在Q处有一个质量为M的不带电的静止质点 质量为m 电量为q的带负电的离子经电场加速后从P点垂直于磁场方向射入匀强磁场后 经过t m 3qB恰与质点M相碰 设负离子在被电场加速前的速度为零 求 1 电场对负离子的加速电压是多大 2 若M 3m 且离子与质点相碰后即结合为一体成为新离子 新离子在磁场中运动的半径R2有多大 3 为使这个离子从P进入磁场后能在Q处与M相遇 电场对离子的加速电压Ux又应该是多大 分析与解答 1 负离子圆周运动t m 3qB T 6 R d mV0 qBV0 dqB m Uq mV02 2 U qd2B2 2m 2 mv0 M m V2 V2 V0 4 R2 M m V2 qB d 3 本小题因离子进入磁场的方向不定引起多解 V0 d R 练习题6 宇航员在太空完成作业后要返回飞船 可向着返回飞船的相反方向喷出氧气 同时保留部分氧气供呼吸用 已知宇航员连同装备总质量M 100 与飞船相对静止在S 45m处 此时还有氧气m 0 5 喷出的氧气的速度可达V0 50m s 宇航员的呼吸耗氧率Q 2 5 10 4 s 要求宇航员安全返回飞船他一次应喷出多少千克氧气 分析与解答 设喷出的氧气质量为X 则50X 100V 0 5 X QS V本题因出现两次函数引起多解 练习题7 一根张紧的绳上ab两点相距14m b点在a点的右方 当一列简谐横波沿此长绳向右传播时 若a点的位移达到正最大时 b点的位移恰为零且向下运动 经过1 0s后a点的位移为零并向下运动 而b点的位移恰达到负向最大值 求该波的波速 分析与解答本题因简谐运动的周期性引起多解所以1 0 T 4 KT本题还因为间隔为波长整数倍的质点振动同步引起多解 练习题8 设在地面上的真空室内 存在匀强电场和匀强磁场 已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的 电场强度的大小E 4 0V m 磁感应强度的大小B 0 15T 今有一个带负电的质点以V 20m s的速度在此区域沿