高中数学 数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案新人教A版 .docx

32.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题知识点一复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.梳理(1)运算法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)知识点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，则(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐标运算，得(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量？答案z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1z2.梳理复数加法的几何意义复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数1两个虚数的和或差可能是实数()2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()3复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()类型一复数的加法、减法运算例1(1)若z12i，z23ai(aR)，复数z1z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数z满足|z|iz13i，则z_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案(1)1(2)1i解析(1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由题意得a10，则a1.(2)设zxyi(x，yR)，则|z|，|z|izixyix(y)i13i，解得z1i.反思与感悟(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设zxyi(x，yR)跟踪训练1(1)若复数z满足zi33i，则z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR)(3)已知复数z满足|z|z13i，则z_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案(1)62i(2)a(4b3)i(3)43i解析(1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)设zxyi(x，yR)，|z|，|z|z(x)yi13i，解得z43i.类型二复数加、减法的几何意义例2(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求：表示的复数；表示的复数；表示的复数考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应解A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知与表示的复数分别为32i，24i.因为，所以表示的复数为32i.因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.(2)已知z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.考点复数加减法的几何意义及应用题点与加减法几何意义有关的模的问题解根据复数加减法的几何意义，由|z1|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，|，对应的复数为z1z2，|.在AOC中，|1，|，AOC30.同理得BOC30，OAB为等边三角形，则|1，对应的复数为z1z2，|z1z2|1.引申探究若将本例(2)中的条件“|z1z2|”改为“|z1z2|1”，求|z1z2|.解如例2(2)图，向量表示的复数为z1z2，|1，则AOB为等边三角形，AOC30，则|，|，表示的复数为z1z2，|z1z2|.反思与感悟(1)常用技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点四边形OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练2(1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是2i,32i，则|_.(2)若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是_考点复数的加减法运算法则题点复数的加减法与向量的对应答案(1)(2)(，1)解析(1)，表示的复数为(2i)(32i)13i，|.(2)z2z11(a1)i，由题意知a10，即a1.1设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案D解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点位于第四象限2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，那么实数a的值为()A1 B2C2 D2或1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案C解析由z1z2a22a(a23a2)i是纯虚数，得得a2.3在复平面内，O是原点，表示的复数分别为2i，32i,15i，则表示的复数为()A28i B44iC66i D42i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案B解析()44i.4设f(z)|z|，z134i，z22i，则f(z1z2)等于()A. B5C. D5考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案D解析因为z1z255i，所以f(z1z2)f(55i)|55i|5.5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是_考点复数加减法的几何意义及应用题点与加减法几何意义有关的综合应用答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、选择题1若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是()A2 B4C3 D4考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案B解析z(34i)1，z24i，故z的虚部是4.2实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是()A1 B2C2 D1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案A解析z1z2(yx)(xy)i2，即xy1，则xy1.3若z12i，z23ai(aR)，且z1z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A3 B2C1 D1考点复数加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案D解析z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.z1z2所对应的点在实轴上，1a0，a1.4设复数z满足关系式z|z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案D解析设zabi(a，bR)，则z|z|(a)bi2i，则解得zi.5已知复数z对应的向量如图所示，则复数z1所对应的向量正确的是()考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案A解析由图知z2i，则z11i，由复数的几何意义可知，A是正确的6复数z1a4i，z23bi，若它们的和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则a，b的值为()Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案A解析因为z1z2(a3)(4b)i为实数，所以4b0，b4.因为z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i为纯虚数，所以a3且b4.故a3，b4.7在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为13i，i，2i，若，则点D表示的复数是()A13i B3iC35i D53i考点复数加减法的几何意义及应用题点与加减法几何意义有关的综合应用答案C解析点A，B，C对应的复数分别为13i，i,2i，对应的复数为22i.设D(x，y)，(x1，y3)(2,2)，解得点D表示的复数为35i.二、填空题8已知z1(3xy)(y4x)i(x，yR)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)设zz1z2，且z132i，则z1_，z2_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案59i87i解析zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i，解得z159i，z287i.9设z34i，则复数z|z|(1i)在复平面内的对应点在第_象限考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案三解析因为z34i，所以|z|5，所以z|z|(1i)34i5(1i)15i.复数z15i在复平面内的对应点Z(1，5)位于第三象限10已知|z|4，且z2i是实数，则复数z_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案22i解析因为z2i是实数，可设za2i(aR)，由|z|4得a2416，所以a212，所以a2，所以z22i.11.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA4ai，zB68i，zCabi(a，bR)，则zAzC_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案24i解析因为，所以4ai(abi)68i.因为a，bR，所以所以所以zA42i，zC26i，所以zAzC(42i)(26i)24i.三、解答题12设mR，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取值范围考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则解因为z1(m15)i，z22m(m3)i，所以z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.因为z1z2是虚数，所以m22m150且m2，所以m5且m3且m2，所以m的取值范围是(，3)(3，2)(2,5)(5，)13(1)若f(z)z1i，z134i，z22i，求f(z1z2)；(2)若z12cos i，z22isin (02)，且z1z2在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围考点复数加减法的几何意义及应用题点与加减法几何意义有关的综合应用解(1)z1z2(34i)(2i)53i，f(z1z2)f(53i)(53i)1i62i.(2)z1z2(2cos )(2sin 1)i，由题意得即又0,2，所以.四、探究与拓展14复数z11icos ，z2sin i，则|z1z2|的最大值为()A32 B.1C32 D.1考点复数加减法的几何意义及应用题点与加减法几何意义有关的模的问题答案D解析|z1z2|(1sin )(cos 1)i| .max1，|z1z2|max1.15已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求：(1)点C