曲边梯形面积与定积分.doc

曲边梯形面积与定积分教学设计说明一、教学设计理念传统的数学教学的弊端：把已构造好了的现成的数学知识端给学生，让他们“理解掌握、灵活运用”，过分强调形式化的逻辑推导和形式化的结果，对数学发现过程的展示和数学直观性背景注意较少；忽视学生数学学习过程是活动的过程；往往只是按照已形式化了的现成的数学规则去操作数学，使得学生不经受足够的亲身体验而过早转入数学活动的下一阶段；现代教育理念也告诉我们，学生数学学习过程应是活动的过程、是意义建构的过程；而只有经受足够的亲身体验才在心理上建构起认识对象的意义，因此真实的意义获取，应以感性体验为必要手段，以理性建构为终极归宿.从而要求我们在设计教学时，课程目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课程设计应由“给出知识”转向“引起活动”；应设法拓宽感性通道，让学生在亲身操作中经历数学知识的建构过程使学生从原有的知识中自然“生长”出新的有效而能发展的知识，促进建构内化，真正使意义获取过程完满、内涵丰富！信息技术支持下的数学实验教学：能够更好地揭示知识之间的内在联系，使学生对知识的理解更为深刻，有利于观察和发现数学现象的本质，形成良好的知识结构；强调学生自己动手实验、观察、比较、归纳，在亲身操作中经历数学知识的建构过程，数学实验正是有了学生的活动而精彩二、教材、目标和对象分析本节课是新课程教材（苏教版）选修2-2之定积分的部分内容.1、曲边梯形的面积求解过程是定积分概念形成的基础，同时也是定积分在数学中的一重要应用；2、蕴涵着定积分的一些基本数学思想方法：在每个局部范围内“以直代曲”，“以不变代变”和逼近的思想.3、曲边梯形面积的求解过程是一程序性非常强的知识，在“分割以直代曲作和逼近”中不仅能让学生学会“数学化”，而且能学到更多的策略性知识.教学目标：1、知识与技能：能准确描述简单曲边梯形面积求解的一般方法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”多种方案比较中建构定积分的概念.2、过程与方法：通过求曲边梯形具体实例的学习，体会“以直代曲”的方法和极限的思想，通过方案的比较认识到区间内任意一点的函数值均可作为矩形一边长，从而建构出定积分的概念；在两种方法求曲边梯形面积的比较中感受微积分基本定理的作用.3、情感态度与价值观：借助于信息技术探究数学问题，在观察、比较、归纳中感受数学的全过程，提高数学学习的信念.教学对象分析：学生在学习本段内容前已经学过导数，对“割线逼近切线”已有了真切的感受，同时作为理科班的同学，他们对数学问题有强烈的探究欲望，也有了一定的问题解决能力.三、教学重点、难点及整合点本节课的教学重点和难点在于：1、“局部以直代曲”的理解2、逼近结果的认识和极限思想的渗透3、方案的比较和定积分概念的建构信息技术与课程整合的关键点：1、将“只可意会，不可言传”的知识外显化，降低学生思维的起点和难度，让他们在直观比较中有机会进行思维的碰撞.2、创设实验平台让学生有机会“做数学”，通过学生的自主操作获得感性认识，最终达到意义建构.四、教学过程（详见教学设计）说信息技术选择的依据，能清晰地说明信息技术应用的媒体内容与形式.针对本节课的整合点，阐述解决方案，并对使用方式和效果作有效分析.1、创设情境、提出问题教材中提到“在几何上有两个基本问题，第一个是如何确定曲线上一点处切线的斜率，第二个就是如何求曲线下方曲边梯形的面积.”问题是为什么要研究曲边梯形的面积，教学实施时可从物体做变速直线运动速度与路程的关系入手，分析速度函数是路程函数的导函数，而路程可理解为是相应曲边梯形的面积，从而引入课题，紧接着，通过情境创设，让学生认识到曲边梯形的面积求解可以通过分割的形式实现.图1(1)(2)(3)2、讨论交流、形成方案在形成共识（将曲边梯形加以分割）的基础上学生以小组为单位讨论交流，形成初步方案，即分割以直代曲作和逼近.教师演示课件（以左端点对应的函数值为矩形的边长为例），从而强化学生对方案的认识.第二次讨论交流，让学生将问题细化，在步骤二中产生分化，形成多种“以直代曲”方案.3、自主实验、合作探究学生在信息技术平台中将方案加以落实，通过改变分割次数感受逼近思想，并通过不同方案的比较验证感受到“大同小异”，最后的曲边梯形面积与具体的“以直代曲”方案无关，为数学知识的建构提供感性通道.4、方案比较、揭示概念结果解释：对最后结果（随着分割次数的增加，曲边梯形的面积趋于稳定）加以解释方法1、计算机计算结果比较方法2、体积构造法（直观演示）方法3、公式法（考虑到计算公式比较复杂，以学生阅读教材为主）进一步分析：常见的三种方案，即分别以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE来近似代替相应曲边梯形的面积.具体方案中虽然面积会有差异，即，但当时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形的面积.从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点所对应的函数值作为小矩形一边的长.(1)(2)(3)图4实际上，方案1是用小区间的左端点对应的函数值作为小矩形一边的长，而方案2则是用右端点对应的函数值作为小矩形一边的长，当分点非常多（即很大）时，可以认为在小区间上几乎没有变化（或者变化非常小）.5、应用举例、比较结果在得出定积分概念后及介绍定理后，曲边梯形的面积求解有两种方法，需要让学生加以比较.例1、试用定积分表示下列曲边梯形的面积，并借助于信息技术求出相应结果（1）、计算直线，和曲线围成的曲边梯形面积.（2）、计算直线，和曲线y=sinx围成的曲边梯形面积.五、数字化资源及教学反思1、本实验平台应用几何画板4.07制作，学习场所为配置有多台计算机并有广播软件作技术的支撑的网络教室.2、其中学生用软件有详细的使用说明，保证有一定几何画板基础的学生能象使用纸笔等学习工具一样使用实验平台进行数学的探索.3、学生在使用实验平台时有一定的自主性，在参数的设置、函数的选择上均可按自己的理解进行设置，它能满足不同学生的需求，换言之学生不是简单的亦步亦趋的操作.4、实验平台能有效促进学生的数学理解，从而促进有效教学.更进一步地，可以说数学实验活动已经让信息技术与数学学科的整合从单纯的直观演示走向了对数学知识的探究.曲边梯形面积与定积分教学设计教学目标1、知识与技能：了解求简单曲边梯形（轴上方）的面积的一般求法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念，初步理解定积分的几何意义，能利用定积分表求曲边梯形的面积.2、过程与方法：在问题解决（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证.3、情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念.教学过程一、情境创设图1(1)(2)(3)已知某物体做变速直线运动，设经过后的运动速度为（单位：m/s），的图象如图1中曲线所示，试求内物体运动的总路程.由物理学知识可知，即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积.因此，问题即转化为求如何求一曲边梯形的面积，如果说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该如何求呢？二、操作探究为了便于研究问题，我们不妨将问题简化，求直线和曲线所围成的图形（曲边三角形）的面积.活动1、方案提出通过计算机演示，启发学生将曲边梯形细分为若干小曲边梯形，并能提出以矩形面积近似替代曲边梯形面积，初步形成“分割以直代曲作和逼近”的问题解决方案，在具体“以直代曲”过程中能通过小组讨论的形式提出多种方案活动2、方案落实（以左端点对应的函数值为矩形的边长为例，本过程教师讲授为主）1、分割把区间等分成个小区间（思考：为什么要等分区间？）：，,每个区间的长度为.过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，.即.2、以直代曲对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即.图2(1)(2)(3)(4)3、作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形的面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值，其中.4、逼近当分割无限变细，即（亦即）时，.的求法包括：方法1、计算机计算（一个大致结果）方法2、体积构造法.将单位正方体每条棱等分，得到个长方体，其体积之和即为；当时，该几何体无限逼近四棱锥，又，从而.方法3、公式法由（公式推导见教材第2章推理与证明P74）有学生借助于公式法检验另一方案（以右端点的函数值为近似矩形的边长）.通过真实的验证过程感受最后的曲边梯形面积与具体的“以直代曲”方案无关，从而感受极限思想.活动3、方案比较学生通过讨论可得到常见的三种方案，即分别以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE（方案3如果学生提不出，可不予考虑）来近似代替相应曲边梯形的面积.(1)(2)(3)图4具体方案中虽然面积会有差异即，但当时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形的面积（一方面通过电脑操作让学生感受，同时借助公式简单推导从而强化认识）.从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点所对应的函数值作为小矩形一边的长.和式近似表示曲边梯形面积.三、概念揭示对于一般函数，可以采用上述方法求相应曲边梯形的面积.分割：将区间等分成个小区间，每个小区间长度为，；以直代曲：在每个小区间上任取一点，依次为，；求和：；逼近：（亦即）时，.1、概念：称该常数S为函数在区间上的定积分，记为，其中称为被积函数，为积分区间，称为积分下限，为积分上限.2、定积分的几何意义，当非负时，即为轴上